M-A-12-EX-2010-F2

M12-EX-2010-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Uma caixa contém bolas indistinguíveis ao tacto e de duas cores diferentes: azul e roxo.
Sabe-se que:
\( \bullet \)o número de bolas azuis é \( 8 \)
\( \bullet \)extraindo-se, ao acaso, uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser azul é igual a \( \dfrac{1}{2} \)
Quantas bolas roxas há na caixa?
(A)   \( 16 \) (B)   \( 12 \) (C)   \( 8 \) (D)   \( 4 \)

M12-EX-2010-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Considere todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos \( 5, 6, 7, 8 \) e \( 9 \).
De entre estes números, quantos têm, exactamente, três algarismos \( 5 \)?
(A)   \( ^5C_3 \times ^4A_2 \) (B)   \( ^5C_3 \times 4^2 \) (C)   \( ^5A_3 \times 4^2 \) (D)   \( ^5A_3 \times ^4C_2 \)

M12-EX-2010-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Na sequência seguinte, reproduzem-se os três primeiros elementos e os três últimos elementos de uma linha do Triângulo de Pascal.
\( 1 \;\ 15 \;\ 105 \;\ … \;\ 105 \;\ 15 \;\ 1 \)
São escolhidos, ao acaso, dois elementos dessa linha.
Qual é a probabilidade de a soma desses dois elementos ser igual a \( 105 \)?
(A)   \( 1 \) (B)   \( \dfrac{1}{60} \) (C)   \( \dfrac{1}{120} \) (D)   \( 0 \)

M12-EX-2010-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) De uma função \( h \), de domínio \( \mathbb{R} \), sabe-se que:
\( \bullet \)\( h \) é uma função par;
\( \bullet \) ———-limite————– (h(x ) − 2x ) = 0
Qual é o valor de —————–limite————— ?
(A)   \( +\infty \) (B)   \( -2 \) (C)   \( 0 \) (D)   \( -\infty \)

M12-EX-2010-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Considere a função \( g \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por
\( \begin{equation} g(x) = \begin{cases} e^x & \ \text{se } \, x \leq 0 \\ \\ lnx & \ \text{se } \; x > 0 \end{cases} \end{equation} \)
Considere a sucessão de termo geral \( u_n = \dfrac{1}{n} \)
Qual é o valor de ————–limite—————-
(A)   \( +\infty \) (B)   \( 1 \) (C)   \( 0 \) (D)   \( -\infty \)

M12-EX-2010-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função \( f^\prime \), primeira derivada de \( f \)
Seja \( a \in \mathbb{R}^+ \) um ponto do domínio de \( f \), tal que \( f^\prime (a) = 0 \)
Figura 1
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)   A função \( f \) tem um mínimo para \( x = a \)
(B)   A função \( f \) tem um ponto de inflexão para \( x = a \)
(C)   A função \( f \) é crescente em \( ]0, a[ \)
(D)   A função \( f \) é decrescente em \( \mathbb{R} \)

M12-EX-2010-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) A Figura 2 representa um pentágono \( [ABCDE] \) no plano complexo.
Os vértices do pentágono são as imagens geométricas das raízes de índice \( n \) de um número complexo \( w \)
O vértice A tem coordenadas \( (1, 0) \)
Figura 2
Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice \( D \) do pentágono?
(A)   \( 5cis \bigg( \dfrac{6\pi}{5} \bigg) \) (B)   \( cis \bigg( \dfrac{6\pi}{5} \bigg) \) (C)   \( cis \bigg( -\dfrac{\pi}{5} \bigg) \) (D)   \( cis \bigg( \dfrac{\pi}{5} \bigg) \)

M12-EX-2010-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Seja \( w \) o número complexo cuja imagem geométrica está representada na Figura 3.
Figura 3
A qual das rectas seguintes pertence a imagem geométrica de \( w^6 \)?
(A)   Eixo real
(B)   Eixo imaginário
(C)   Bissectriz dos quadrantes ímpares
(D)   Bissectriz dos quadrantes pares

M12-EX-2010-F2-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z_1= \sqrt{2} cis \bigg( \dfrac{\pi}{4} \bigg) \) e \( z_2=3 \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{1.1.} \) Determine o número complexo \( w= \dfrac{z_1^4 + 4i}{i} \)
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
\( \mathrm{1.2.} \) Escreva uma condição, em \( \mathbb{C} \), que defina, no plano complexo, a circunferência que tem centro na imagem geométrica de \( z_2 \) e que passa na imagem geométrica de \( z_1 \)

M12-EX-2010-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) A Figura 4 e a Figura 5 representam, respectivamente, as planificações de dois dados cúbicos equilibrados, \( A \) e \( B \).
Figura 4
Figura 5
Lançam-se, simultaneamente, os dois dados.
\( \mathrm{2.1.} \) Seja \( X \) a variável aleatória «soma dos números saídos nas faces voltadas para cima, em cada um dos dados».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável \( X \)
Apresente as probabilidades na forma de fracção.
\( \mathrm{2.2.} \) Considere que o número da face voltada para cima no dado \( A \) (Figura 4) é a abcissa de um ponto \( Q \) do referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), e que o número da face voltada para cima no dado \( B \) (Figura 5) é a ordenada desse ponto \( Q \).
Considere agora os acontecimentos:
J : «o número saído no dado \( A \) é negativo»;
L : «o ponto \( Q \) pertence ao terceiro quadrante».
Indique o valor de \( P(L|J) \), sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.
Apresente o resultado na forma de fracção.
Numa composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de contexto da situação descrita.

M12-EX-2010-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( \Omega \) o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos tais que \( A\subset\Omega \), \( B\subset\Omega \) e \( P(B) \neq 0 \)
Mostre que \( \dfrac{P(A \cup B)}{P(B)} – P( \overline A |B)= \dfrac{P(A)}{P(B)} \)
(\( P \) designa probabilidade; \( \overline{A} \) designa o acontecimento contrário de \( A \); \( P ( \overline A|B) \) designa a probabilidade de \( \overline{A} \), dado \( B \))

M12-EX-2010-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( ]0, +\infty[ \), definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x + 3x}{x} & \ \text{se } \, 0 < x \leq 2 \\ \\ \dfrac{1}{5}x - lnx & \ \text{se } \; x > 2 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{4.1.} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assimptotas oblíquas.
\( \mathrm{4.2.} \) Mostre que a função \( f \) tem um extremo relativo no intervalo \( ]2, +\infty[ \)
\( \mathrm{4.3.} \) Determine a área do triângulo \( [ABC] \), recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( A, B \) e \( C \) são pontos do gráfico da função \( f \)
\( \bullet \)\( A \) e \( B \) são os pontos cujas abcissas são as soluções, no intervalo \( ]0, 2] \), da equação \( f(x) = f(15) \)
\( \bullet \)\( C \) é o ponto cuja ordenada é o mínimo da função \( f \), no intervalo \( ]0, 2] \), e cuja abcissa pertence ao intervalo \( ]0, 2] \)
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar as coordenadas dos pontos \( A, B \) e \( C \), com arredondamento às centésimas;
\( \bullet \)apresentar o resultado pedido, com arredondamento às décimas.

M12-EX-2010-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por \( f(x)= −x + e^{2x-1} \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{5.1.} \) Mostre que \( f(x) = 1,5 \) tem, pelo menos, uma solução em \( ] −2 , −1[ \)
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.
\( \mathrm{5.2.} \) Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de \( f \) no ponto de abcissa \( x = 0 \)

M12-EX-2010-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
A Figura 6 e a Figura 7 representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
Figura 6
Figura 7
Sabe-se que:
\( \bullet \)o ponto \( O \) é o centro da esfera;
\( \bullet \)a esfera tem \( 6 \) metros de diâmetro;
\( \bullet \)a amplitude \( \theta \), em radianos, do arco \( AB \) é igual à amplitude do ângulo ao centro \( AOB \) correspondente.
A altura \( \overline{AC} \), em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de \( \theta \), por \( h \), de domínio \( [0, \pi] \)
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{6.1.} \) Mostre que \( h(\theta) = 3−3 cos(\theta) \), para qualquer \( \theta \in ]0, \pi[ \)
\( \mathrm{6.2.} \) Resolva a condição \( h(\theta) = 3 , \theta \in ] 0, \pi[ \)
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.