M-A-12-EX-2015-F2

M12-EX-2015-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) A tabela de distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória \( X \) é
——————— tabela ————–
( \( a \) designa um número real)
Qual é o valor médio desta variável aleatória?
(A)   \( 2,1 \) (B)   \( 2,2 \) (C)   \( 2,3 \) (D)   \( 2,4 \)

M12-EX-2015-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Um saco contém nove bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de \( 1 \) a \( 9 \). As bolas numeradas de \( 1 \) a \( 5 \) são pretas e as restantes são brancas.
Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e observa-se a sua cor e o seu número.
Considere os seguintes acontecimentos, associados a esta experiência aleatória:
\( A \): «a bola retirada é preta»
\( B \): «o número da bola retirada é um número par»
Qual é o valor da probabilidade condicionada \( P(A|B) \)?
(A)   \( \dfrac{2}{5} \) (B)   \( \dfrac{1}{2} \) (C)   \( \dfrac{3}{5} \) (D)   \( \dfrac{3}{4} \)

M12-EX-2015-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Para certos valores de \( a \) e de \( b \) \( (a>1 \) e \( b>1) \), tem-se \( log_ba = \dfrac{1}{3} \)
Qual é, para esses valores de \( a \) e de \( b \), o valor de \( log_a(a^2b) \)?
(A)   \( \dfrac{2}{3} \) (B)   \( \dfrac{5}{3} \) (C)   \( 2 \) (D)   \( 5 \)

M12-EX-2015-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Para um certo número real \( k \), é contínua em \( \mathbb{R} \) a função \( f \) definida por
—————-função——————-
Qual é o valor de \( k \)?
(A)   \( 0 \)
(B)   \( 1 \)
(C)   \( ln2 \)
(D)   \( ln3 \)

M12-EX-2015-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \mathbb{R} \) , definida por \( f(x)=3 \sin^2(x) \)
Qual das expressões seguintes define a função \( f^(\prime \prime) \), segunda derivada de \( f \)?
(A)   \( 6\sin(2x)\cos(x) \)
(B)   \( 6\sin(x)\cos(2x) \)
(C)   \( 6\cos(2x) \)
(D)   \( 6\sin(2x) \)

M12-EX-2015-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 1, está representado, no plano complexo, um triângulo equilátero \( [OAB] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) o ponto \( O \) é a origem do referencial;
\( \bullet \) o ponto \( A \) pertence ao eixo real e tem abcissa igual a 1
\( \bullet \) o ponto \( B \) pertence ao quarto quadrante e é a imagem geométrica de um complexo \(z\)
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)   \( z= \sqrt3 cis\dfrac{11\pi}{6} \)
(B)   \( z= cis\dfrac{11\pi}{6} \)
(C)   \( z= \sqrt3 cis\dfrac{5\pi}{3} \)
(D)   \( z= cis\dfrac{5\pi}{3} \)
figura 1

M12-EX-2015-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), a circunferência definida pela equação
\( x^2+(y−1)^2=2 \)
Esta circunferência intersecta o eixo \( Ox \) em dois pontos. Destes pontos, seja \( A \) o que tem abcissa positiva.
Seja \( r \) a reta tangente à circunferência no ponto \( A \)
Qual é a equação reduzida da reta \( r \)?
(A)   \( y=x+1 \)
(B)   \( y=x−1 \)
(C)   \( y=2x+2 \)
(D)   \( y=2x−2 \)

M12-EX-2015-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Qual das expressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona e limitada?
(A)   \( (-1)^n \)
(B)   \( (-1)^n.n \)
(C)   \( -\dfrac{1}{n} \)
(D)   \( 1+n^2 \)

M12-EX-2015-F2-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, seja \( z_1= \dfrac{-1+i}{ \sqrt2 cis \dfrac{\pi}{2} \)
Determine os números complexos \( z \) que são solução da equação \( z_4 = \overline{z_1} \), sem utilizar a calculadora.
Apresente esses números na forma trigonométrica.

M12-EX-2015-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por uma mola.
A Figura 2 esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos \( O \) e \( A \) são pontos fixos. O ponto \( P \) representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta \( \dot{O}A \)
Figura 2
Admita que não existe qualquer resistência ao movimento.
Sabe-se que a distância, em metros, do ponto \( P \) ao ponto \( O \) é dada por
\( d(t)= 1 + \dfrac{1}{2} \sin \bigg( \pi t + \dfrac{\pi}{6} \bigg) \)
A variável \( t \) designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo (\( t \in [0, +\infty[ \))
Resolva os itens 2.1. e 2.2. sem recorrer à calculadora.
\( \mathrm{2.1} \) No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto \( P \) coincidia com o ponto \( A \)
Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto \( P \) passou pelo ponto \( A \) mais do que uma vez.
Determine os instantes, diferentes do inicial, em que tal aconteceu.
Apresente os valores exatos das soluções, em segundos.
\( \mathrm{2.2} \) Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto \( P \) ao ponto \( O \) foi igual a \( 1,1 \) metros.

M12-EX-2015-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \mathbb{R} \), definida por ————função——————–
Resolva os itens 3.1., 3.2. e 3.3., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{3.1} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.
\( \mathrm{3.2} \) Resolva, em \( ]-\infty,3] \), a condição \( f(x)-2x>1 \)
Apresente o conjunto solução, usando a notação de intervalos de números reais.
\( \mathrm{3.3} \) Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \( f \) no ponto de abcissa \( 4 \)

M12-EX-2015-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Seja \( f \): \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) uma função tal que:
\( \bullet \) \( f \) tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio;
\( \bullet \) \( f^\prime >0 \)
\( \bullet \) \( f^{\prime \prime} (x) <0 \), para qualquer \( x \in ]-\infty,0] \)
Nenhum dos gráficos a seguir apresentados é o gráfico da função \( f \)
————Gráfico A; Gráfico B; Gráfico C ————————
Elabore uma composição na qual apresente, para cada um dos gráficos, uma razão pela qual esse gráfico não pode ser o gráfico da função \( f \)

M12-EX-2015-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( \Omega \) , conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos  ( \( A \subset \Omega \) e \( B \subset \Omega \) ) , com \( P(A) \neq 0 \)
Prove que \( P(A \cup \overline B )-1 + P(B) = P(A) \times P(B|A) \)

M12-EX-2015-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 3, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{Oxyz} \), o poliedro \( [NOPQRSTUV] \) que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que:
\( \bullet \) o vértice \( P \) pertence ao eixo \( Ox \)
\( \bullet \) o vértice \( N \) pertence ao eixo \( Oy \)
\( \bullet \) o vértice \( T \) pertence ao eixo \( Oz \)
\( \bullet \) o vértice \( R \) tem coordenadas \( (2,2,2) \)
\( \bullet \) o plano \( PQV \) é definido pela equação \( 6x+z−12=0 \)
\( \mathrm{6.1} \) Determine as coordenadas do ponto \( V \)
\( \mathrm{6.2} \) Escreva uma equação cartesiana do plano que passa no ponto \( P \) e é perpendicular à reta \( OR \)
\( \mathrm{6.3} \) Seja \( A \) um ponto pertencente ao plano \( QRS \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) o ponto \( A \) tem cota igual ao cubo da abcissa;
\( \bullet \) os vetores \( \vec{OA} \) e \( \vec{TQ} \) são perpendiculares.
Determine a abcissa do ponto \( A \), recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta:
\( \bullet \) equacione o problema;
\( \bullet \) reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s) (sugere-se a utilização da janela e visualização em que \( x \in [−4,4] \) e \( y \in [−2,7] \));
\( \bullet \) apresente a abcissa do ponto \( A \) arredondada às centésimas.
\( \mathrm{6.4} \) Dispõe-se de sete cores diferentes, das quais uma é branca e outra é azul, para colorir as nove faces do poliedro \( [NOPQRSTUV] \). Cada face vai ser colorida com uma única cor.
Considere a experiência aleatória que consiste em colorir, ao acaso, as nove faces do poliedro, podendo cada face ser colorida por qualquer uma das sete cores.
Determine a probabilidade de, no final da experiência, o poliedro ficar com exatamente duas faces brancas, ambas triangulares, exatamente duas faces azuis, ambas quadradas, e as restantes faces coloridas com cores todas diferentes.
Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima.