2017-F2 toparse-new

M12-EX-2017-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Considere todos os números naturais de cinco algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5
Destes números, quantos têm os algarismos pares um a seguir ao outro?
(A)   24 (B)   48 (C)   72 (D)   96

M12-EX-2017-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória \( X \) é a seguinte.
\( x_i \) \( \mathrm{1} \) \( \mathrm{2} \) \( \mathrm{3} \) \( \mathrm{4} \)
\( P(X = x_i) \) \( \dfrac{1}{3} \) \( \dfrac{1}{4} \) \( \dfrac{1}{6} \) \( \dfrac{1}{4} \)
Qual é o valor da probabilidade condicionada \( P ( X > 1 \mid X \le 3 ) \) ?
(A)   \( \dfrac{1}{2} \) (B)   \( \dfrac{1}{4} \) (C)   \( \dfrac{8}{9} \) (D)   \( \dfrac{5}{9} \)

M12-EX-2017-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) De uma função \(f \), de domínio \( \mathbb{R} \), com derivada finita em todos os pontos do seu domínio, sabe-se que \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^2-2x}{f(x)-f(2)}=4 \)
Qual é o valor de \(f^\prime (2) \) ?
(A)   \( -\dfrac{1}{2} \) (B)   \( -\dfrac{1}{4} \) (C)   \( \dfrac{1}{2} \) (D)   \( \dfrac{1}{4} \)

M12-EX-2017-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 1, está representado o gráfico de uma função \(f \), de domínio \( ]-1, 6[ \), e, na Figura 2, está representada parte do gráfico de uma função \(g \), de domínio \( \mathbb{R} \)
Tal como as figuras sugerem, em ambas as funções, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras.\( Figura 1 e Figura 2 \) \[ \lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^2-2x}{f(x)-f(2)}=4 \](isto é só por memória)
Quais são os zeros da função \( g \circ f \) ?
(o símbolo \( \circ \) designa a composição de funções)
(A)   0 e 4 (B)   1 e 5 (C)   -1 e 3 (D)   2 e 6

M12-EX-2017-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) uma função de domínio \( \mathbb{R} \)
A tabela de variação de sinal da função \( f^{\prime \prime} \), segundo a derivada de \( f \), é a seguinte.
\( x \) \( -\infty \) \( \mathrm{-10} \) \( \mathrm{0} \) \( \mathrm{10} \) \( +\infty \)
\( f^{\prime \prime} \) \( – \) \( \mathrm{0} \) \( + \) \( \mathrm{0} \) \( – \) \( \mathrm{0} \) \( + \)
Seja \( g \) a função definida por \( g(x)=-f(x-5) \)
Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo?
(A)   ]-15,-5[ (B)   ]0,10[ (C)   ]-5,5[ (D)   ]5,15[

M12-EX-2017-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( z \) um número complexo de argumento \( \pi/5 \)
Qual dos seguintes valores é um argumento do número complexo \( -5iz \)?
(A)   \( -\dfrac{3 \pi}{10} \) (B)   \( -\dfrac{4 \pi}{5} \) (C)   \( -\dfrac{7 \pi}{5} \) (D)   \( -\dfrac{13 \pi}{10} \)

M12-EX-2017-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, num referencial o.n. \( x0y \), a região definida pela condição
\( (x + 1)^2 + (y + 1)^2 \leq 1 \land x + y + 2 \geq 0 \)
Qual é o perímetro dessa região?
(A)   \( \pi+1 \) (B)   \( \dfrac{pi}{2}+1 \) (C)   \( \pi+2 \) (D)   \( \dfrac{pi}{2}+2 \)

M12-EX-2017-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Seja \( (un) \) a sucessão definida por \( un= (\dfrac{1}{2})^(1-n) \)
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)   A sucessão \( (un) \) é uma progressão geométrica de razão \( \dfrac{1}{2}\)
(B)   A sucessão \( (un) \) é uma progressão geométrica de razão 2
(C)   A sucessão \( (un) \) é uma progressão aritmética de razão \( \dfrac{1}{2} \)
(D)   A sucessão \( (un) \) é uma progressão aritmética de razão 2

M12-EX-2017-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Na Figura 3, está representado, num referencial o.n. \( 0xyz \), o cubo \( [ABCDEFGH] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) a face \( [ABCD] \) está contida no plano \( xOy \)
\( \bullet \) a aresta \( [CD] \) está contida no eixo \( Oy \)
\( \bullet \) o ponto \( D \) tem coordenadas \( (0, 4, 0) \)
\( \bullet \) o plano \( ACG \) é definido pela equação \( x+y-z-6=0 \)
\( \mathrm{2.1} \) Verifique que o vértice \( A \) tem abcissa igual a 2
\( \mathrm{2.2} \) Seja r a reta definida pela condição \( x – 1 = 1 – y = z \)
Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta \( r \) com o plano \( ACG \)
\( \mathrm{2.3} \) Seja \( P \) o vértice de uma pirâmide regular de base \( [EFGH] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) a cota do ponto P é superior a 2
\( \bullet \) o volume da pirâmide é 4
Determine a amplitude do ângulo \( OGP \)
Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

M12-EX-2017-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Uma escola secundária tem alunos de ambos os sexos.
\( \mathrm{3.1.} \) Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola.
Seja \( A \) o acontecimento «o aluno escolhido é rapariga», e seja \( B \) o acontecimento «o aluno escolhido frequenta o 10.º ano».
Sabe-se que:
\( \bullet \)a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz ou não frequentar o 10.º ano é \( 0,82 \)
\( \bullet \)a probabilidade de o aluno escolhido frequentar o 10.º ano, sabendo que é rapariga, é \( \dfrac{1}{3} \)
Determine \( P(A) \)
\( \mathrm{3.2.} \) Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de 1 a 30
Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comissão, introduzem-se, num saco, trinta cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de 1 a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso.
Qual é a probabilidade de os dois menores números saídos serem o 7 e o 22?
Apresente o resultado arredondado às milésimas.

M12-EX-2017-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( f(x) = \dfrac {ln x}{x} \)
Resolva os itens 4.1., 4.2. e 4.3. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{4.1.} \) Estude a função \( f \)quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.
\( \mathrm{4.2.} \) Resolva a inequação \( f(x) > 2 ln x \)
Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais.
\( \mathrm{4.3.} \) Para um certo número real \( k \), a função \( g \), de domínio \( \mathbb{R+} \) , definida por \( g (x) = \dfrac{k}{x} + f(x) \), tem um extremo relativo para \( x = 1 \)
Determine esse número \( k \)

M12-EX-2017-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere o desenvolvimento de \( \left( 2 x sen \alpha + \dfrac{cos x}{x} \right)^2 \), em que \( \alpha \in \mathbb{R} \; e \; x \neq 0 \)
Determine os valores de \( a \) , pertencentes ao intervalo \( ]\pi, 2\pi[ \), para os quais o termo independente de \( x \), neste desenvolvimento, é igual a 1
Resolva este item recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

M12-EX-2017-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Num jardim, uma criança está a andar num baloiço cuja cadeira está suspensa por duas hastes rígidas. Atrás do baloiço, há um muro que limita esse jardim.
A Figura 4 esquematiza a situação. O ponto \( P \)representa a posição da cadeira. \( figura 4 \)
Baloiço
Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Doze segundos após esse instante, a criança deixa de dar balanço e procura parar o baloiço arrastando os pés no chão.
Admita que a distância, em decímetros, do ponto P ao muro, t segundos após o instante inicial, é dada por
\( \begin{equation} d(t) = \begin{cases} 30 + t sen(\pi t) & \ \text{se } \, 0 \leq t < 12\\ \\[1pt] 30 + 12 e^{(12 - t)} sen(\pi t) & \ \text{se } \; t \geq 12 \end{cases} \end{equation} \)
(o argumento da função seno está expresso em radianos)
\( \mathrm{6.1.} \) Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o número de soluções da equação \( d(t) = 27 \) no intervalo \( [0,6] \), e interprete o resultado no contexto da situação descrita.
Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema.
\( \mathrm{6.2.} \) Admita que, no instante em que é iniciada a contagem do tempo, as hastes do baloiço estão na vertical e que a distância do ponto P ao chão, nesse instante, é 4 dm
Treze segundos e meio após o instante inicial, a distância do ponto P ao chão é 4,2 dm
Qual é o comprimento da haste?
Apresente o resultado em decímetros, arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.