M-A-12-EX-2010-EE

M12-EX-2010-EE-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) A Rita tem oito livros, todos diferentes, sendo três de Matemática, três de Português e dois de Biologia. A Rita pretende arrumar, numa prateleira, os oito livros, uns a seguir aos outros.
De quantas maneiras diferentes o pode fazer, ficando os livros de Matemática todos juntos numa das pontas?
(A)   \( 72 \)
(B)   \( 240 \)
(C)   \( 720 \)
(D)   \( 1440 \)

M12-EX-2010-EE-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Seja \( \Omega \) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos ( \( A\subset\Omega \) e \( B\subset\Omega \) ).
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( P (A) = 0,4 \)
\( \bullet \)\( P (B) = 0,3 \)
\( \bullet \)\( P (A \cap B) = 0,3 \)
Qual é o valor de \( P (A \cup B) \)?
(A)   \( 0,4 \)
(B)   \( 0,6 \)
(C)   \( 0,7 \)
(D)   \( 0,8 \)

M12-EX-2010-EE-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Numa prateleira de uma perfumaria existe um conjunto de dez perfumes diferentes, sendo três de homem e sete de senhora. A gerente pretende escolher, ao acaso, seis desses dez perfumes para colocar na montra.
Seja \( X \) a variável aleatória «número de perfumes de homem que se colocam na montra».
Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória \( X \)?
(A)   \( —————-tabelas————– \)

M12-EX-2010-EE-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^- \), definida por \( f (x) = \ln(−3x) \)
Qual é a solução da equação \( f(x) = 2 \)?
(A)   \( \dfrac{1}{2}e^3 \) (B)   \( -\dfrac{1}{2}e^3 \) (C)   \( -\dfrac{1}{3}e^2 \) (D)   \( \dfrac{1}{3}e^2 \)

M12-EX-2010-EE-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Considere a função \( h \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), e a recta de equação \( y = –4 \), assimptota do gráfico de \( h \)
Qual é o valor de ————–limite—————-
(A)   \( -\infty \) (B)   \( +\infty \) (C)   \( -4 \) (D)   \( 0 \)

M12-EX-2010-EE-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função derivada, \( f^\prime \), de uma função \( f \)
Figura 1
Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( f \)?
(A)   \( —————-gráficos—————- \)

M12-EX-2010-EE-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere o conjunto \( A = {z \in \mathbb{C}: i \times (z + \overline{z}) = 0} \)
(\( i \) designa a unidade imaginária, e \( \overline{z} \) designa o conjugado de \( z \))
Qual das rectas seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do conjunto \( A \)?
(A)   o eixo real
(B)   o eixo imaginário
(C)   a bissectriz dos quadrantes pares
(D)   a bissectriz dos quadrantes ímpares

M12-EX-2010-EE-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 2, estão representados, no plano complexo, os pontos \( P, Q , R , S \) e \( T \).
O ponto \( P \) é a imagem geométrica de um número complexo \( z \)
Figura 2
Qual dos pontos seguintes, representados na Figura 2, é a imagem geométrica do número complexo \( –i × z \)?
(A)   \( Q \)
(B)   \( R \)
(C)   \( S \)
(D)   \( T \)

M12-EX-2010-EE-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere o número complexo
\( z= \dfrac{(-1-i)^8}{\bigg( cis \bigg( \dfrac{\pi}{8} \bigg) \bigg)^2} \times cis \bigg( \dfrac{5\pi}{2} \bigg) \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{1.1.} \) Verifique que \( z = 16 cis \bigg(\dfrac{\pi}{4} \bigg) \)
\( \mathrm{1.2.} \) Determine a área do polígono cujos vértices, no plano complexo, são as imagens geométricas das raízes quartas de \( z \)

M12-EX-2010-EE-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Uma turma é constituída por \( 27 \) alunos, dos quais \( 17 \) são rapazes. A Maria e o Manuel são alunos dessa turma. A professora de Português vai escolher, ao acaso, um grupo de cinco alunos para definirem as regras de um Jogo de Palavras.
\( \mathrm{2.1.} \) Determine quantos grupos diferentes se podem formar, sabendo que em cada grupo tem de estar, pelo menos, um aluno de cada sexo.
\( \mathrm{2.2.} \) Considere os acontecimentos:
A: «a Maria e o Manuel são escolhidos para definirem as regras do jogo»;
B: «dos cinco alunos escolhidos, dois são rapazes e três são raparigas».
Uma resposta correcta para a probabilidade condicionada \( P(B|A) \) é \( \dfrac{16 \times ^9C_2}{^{25}C_3} \)
Numa composição, explique porquê.
A sua composição deve incluir:
\( \bullet \)a interpretação do significado de \( P(B|A) \), no contexto da situação descrita;
\( \bullet \)uma referência à regra de Laplace;
\( \bullet \)uma explicação do número de casos possíveis;
\( \bullet \)uma explicação do número de casos favoráveis.

M12-EX-2010-EE-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) A Ana e a Joana são amigas e vão acampar nas férias do Carnaval. A mãe da Ana e a mãe da Joana pediram às filhas que, quando chegassem ao acampamento, lhes telefonassem, pedido que é hábito fazerem sempre que as jovens se ausentam de casa por períodos de tempo alargados. Admita-se que o facto de uma delas telefonar é independente de a outra também o fazer.
Sabe-se pela experiência que elas nem sempre satisfazem o pedido das mães.
Considere os acontecimentos:
A: «a Ana telefona à mãe»;
B: «a Joana telefona à mãe».
Determine a probabilidade de, pelo menos, uma das amigas telefonar à sua mãe, sabendo que \( P(A) = 70% \), que \( P(B) = 80% \) e que \( A \) e \( B \) são acontecimentos independentes.
Apresente o resultado em percentagem.

M12-EX-2010-EE-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( ]0, \pi[ \), definida por \( f (x) = \ln{x} × \cos{x} \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( O \) é a origem do referencial;
\( \bullet \)\( A \) é o ponto de intersecção do gráfico da função \( f \) com o eixo \( Ox \), que se situa mais próximo da origem \( O \);
\( \bullet \)\( B \) é o ponto de intersecção do gráfico da função \( f \) com a recta bissectriz dos quadrantes pares.
Determine a área do triângulo \( [OAB] \), recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar as coordenadas dos pontos \( A \) e \( B \), arredondando às milésimas as coordenadas do ponto \( B \);
\( \bullet \)desenhar o triângulo \( [OAB] \), assinalando os pontos que representam os seus vértices;
\( \bullet \)apresentar o resultado pedido, com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2010-EE-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Seja uma função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), e seja a recta de equação \( y = 1 \) a única assimptota do gráfico de \( f \)
Considere a função \( g \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( g(x) = f(x) + x \)
Prove que o gráfico de \( g \) tem uma assimptota oblíqua paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares.

M12-EX-2010-EE-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Considere a função \( h \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por \( \begin{equation} h(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2x}-e^x}{x} & \ \text{se } \, x > 0 \\ ln(x^2 + 1) & \ \text{se } \; x \leq 0 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{6.1.} \) Estude a continuidade da função \( h \) em \( x = 0 \)
\( \mathrm{6.2.} \) Resolva, no intervalo \( ] −\infty, 0] \), a inequação \( h(x) > h(−4) \)

M12-EX-2010-EE-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Admita que, numa certa marina, a profundidade da água, em metros, \( t \) horas após as zero horas de um certo dia, é dada por \( P(t) = 2 \cos\bigg( \dfrac{\pi}{6}t \bigg) + 8 \), em que \( t \in [0, 24] \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{7.1.} \) Determine a profundidade da água da marina às três horas da tarde, desse dia.
\( \mathrm{7.2.} \) Determine, recorrendo ao estudo da função derivada, a profundidade mínima, em metros, da água da marina, nesse dia.