M-A-12-EX-2010-F1

M12-EX-2010-F1-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \Omega \) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos ( \( A\subset\Omega \) e \( B\subset\Omega \) ).
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( P(A) = 30% \);
\( \bullet \)\( P (A \cup B) = 70% \);
\( \bullet \)\( A \) e \( B \) são incompatíveis.
Qual é o valor de \( P(B) \)?
(A)   \( 21% \) (B)   \( 40% \) (C)   \( 60% \) (D)   \( 61% \)

M12-EX-2010-F1-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Num grupo de dez trabalhadores de uma fábrica, vão ser escolhidos três, ao acaso, para frequentarem uma acção de formação. Nesse grupo de dez trabalhadores, há três amigos, o João, o António e o Manuel, que gostariam de frequentar essa acção.
Qual é a probabilidade de serem escolhidos, exactamente, os três amigos?
(A)   \( \dfrac{1}{^{10}A_3} \) (B)   \( \dfrac{3}{^{10}A_3} \) (C)   \( \dfrac{1}{^{10}C_3} \) (D)   \( \dfrac{3}{^{10}C_3} \)

M12-EX-2010-F1-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória \( X \) é a seguinte.
tabela
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, considerando os valores da tabela?
(A)   \( P(X=0) = P(X>1) \)
(B)   \( P(X=0) = P(X=2) \)
(C)   \( P(X=0) = P(X=3) \)
(D)   \( P(X<2) = P(X=3) \)

M12-EX-2010-F1-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função afim \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \)
Figura 1
Seja \( h \) a função definida por \( h(x) = f(x) + e^x \)
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( h^(\prime \prime) \), segunda derivada de \( h \)?
(A)   \( —————-gráficos—————- \)

M12-EX-2010-F1-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Na Figura 2, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função ( f \), contínua, de domínio \( ]−\infty, 1[ \)
Tal como a Figura 2 sugere, a recta de equação \( x = 1 \) é assimptota do gráfico de \( f \)
Figura 2
Qual é o valor de ————-limite————–
(A)   \( -\infty \) (B)   \( 3 \) (C)   \( 0 \) (D)   \( +\infty \)

M12-EX-2010-F1-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( g \) a função, de domínio \( ] −2, +\infty [ \), definida por \( g(x) = ln(x + 2) \)
Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), um triângulo \( [OAB] \) tal que:
\( \bullet \)\( O \) é a origem do referencial;
\( \bullet \)\( A \) é um ponto de ordenada 5;
\( \bullet \)\( B \) é o ponto de intersecção do gráfico da função \( g \) com o eixo das abcissas.
Qual é a área do triângulo \( [OAB] \)?
(A)   \( \dfrac{5}{2} \) (B)   \( \dfrac{1}{2} \) (C)   \( \dfrac{5ln2}{2} \) (D)   \( \dfrac{ln2}{2} \)

M12-EX-2010-F1-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z= cis \bigg( \dfrac{\pi}{8} – \theta \bigg) \) , com \( \theta \in \mathbb{R} \)
Para qual dos valores seguintes de \( \theta \) podemos afirmar que \( z \) é um número imaginário puro?
(A)   \( -\dfrac{\pi}{2} \) (B)   \( \dfrac{\pi}{2} \) (C)   \( \dfrac{\pi}{8} \) (D)   \( \dfrac{5\pi}{8} \)

M12-EX-2010-F1-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 3, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano definido pela condição \( Re(z) > 3 \)
Figura 3
Qual dos números complexos seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada a sombreado ?
(A)   \( \sqrt3 cis \bigg( \dfrac{\pi}{6} \bigg) \)
(B)   \( 3\sqrt3 cis \bigg( \dfrac{\pi}{6} \bigg) \)
(C)   \( \sqrt3 cis \bigg( \dfrac{\pi}{2} \bigg) \)
(D)   \( 3\sqrt3 cis \bigg( \dfrac{\pi}{2} \bigg) \)

M12-EX-2010-F1-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z_1 = cis\bigg(\dfrac{\pi}{4} \bigg) \) e \( z_2 = 2 + i \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{1.1.} \) Determine o número complexo \( w= \dfrac{3-ix(z_1)^7}{\overline{z_2}} \)
(\ i \) designa a unidade imaginária, e \( \overline{z_2} \) designa o conjugado de \( z_2 \) )
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
\( \mathrm{1.2.} \) Mostre que \( |z_1 + z_2|^2 = 6 + 4 \cos bigg(\dfrac{\pi}{7} \bigg) + 2sen \bigg( \dfrac{\pi}{7} \bigg) \)

M12-EX-2010-F1-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Dos alunos de uma escola, sabe-se que:
\( \bullet \)a quinta parte dos alunos tem computador portátil;
\( \bullet \)metade dos alunos não sabe o nome do director;
\( \bullet \)a terça parte dos alunos que não sabe o nome do director tem computador portátil.
\( \mathrm{2.1.} \) Determine a probabilidade de um aluno dessa escola, escolhido ao acaso, não ter computador portátil e saber o nome do director.
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
\( \mathrm{2.2.} \) Admita que essa escola tem \( 150 \) alunos. Pretende-se formar uma comissão de seis alunos para organizar a viagem de finalistas.
Determine de quantas maneiras diferentes se pode formar uma comissão com, exactamente, quatro dos alunos que têm computador portátil.

M12-EX-2010-F1-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Considere o problema seguinte:
«Num saco, estão dezoito bolas, de duas cores diferentes, de igual tamanho e textura, indistinguíveis ao tacto. Das dezoito bolas do saco, doze bolas são azuis, e seis bolas são vermelhas.
Se tirarmos duas bolas do saco, simultaneamente, ao acaso, qual é a probabilidade de elas formarem um par da mesma cor?»
Uma resposta correcta para este problema é \( \dfrac{12×11+6×5}{18×17} \)
Numa composição, explique porquê.
A sua composição deve incluir:
\( \bullet \)uma referência à regra de Laplace;
\( \bullet \)uma explicação do número de casos possíveis;
\( \bullet \)uma explicação do número de casos favoráveis.

M12-EX-2010-F1-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Na Internet, no dia 14 de Outubro de 2009, pelas 14 horas, colocaram-se à venda todos os bilhetes de um espectáculo. O último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda.
Admita que, \( t \) horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é dado, aproximadamente, por
\( N(t)= 8log_4(3t+1)^3 – 8 log_4(3t+1) \), \( t \in [0,5] \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{4.1.} \) Mostre que \( N(t) = 16 log_4(3t + 1) \), para qualquer \( t \in [0,5] \)
\( \mathrm{4.2.} \) Determine quanto tempo foi necessário para vender \( 2400 \) bilhetes.
Apresente o resultado em horas e minutos.
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais, apresentando os minutos arredondados às unidades.

M12-EX-2010-F1-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere uma função \( f \), de domínio \( ]0,3[ \), cuja derivada \( f^\prime \), de domínio \( ]0,3[ \), é definida por
\( f^\prime (x) =e^x – \dfrac{1}{x} \)
Estude a função \( f \) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar os intervalos de monotonia da função \( f \);
\( \bullet \)assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2010-F1-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( ] −\infty, 2\pi] \), definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} ax + b + e^x & \ \text{se } \, x \leq 0 \\[1pt] & & ( \textsf{com} \;\ a,b \in \mathbb{R} ) \\ \\ \dfrac{x-sen(2x)}{x} & \ \text{se } \; 0 < x \leq 2\pi \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{6.1.} \) Prove que a recta de equação \( y = ax + b \), com \( a \neq 0 \), é uma assimptota oblíqua do gráfico de \( f \)
\( \mathrm{6.2.} \) Determine o valor de \( b \), de modo que \( f \) seja contínua em \( x = 0 \)

M12-EX-2010-F1-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), uma circunferência e o triângulo \ [OAB] \).
Sabe-se que:
\( \bullet \)a circunferência tem diâmetro \( [OA] \)
\( \bullet \)o ponto \( A \) tem coordenadas \( (2, 0) \);
\( \bullet \)o vértice \( O \) do triângulo \( [OAB] \) coincide com a origem do referencial;
\( \bullet \)o ponto \( B \) desloca-se ao longo da semicircunferência superior.
Figura 4
Para cada posição do ponto \( B \), seja \( \alpha \) a amplitude do ângulo \( AOB \), com \( \alpha \in \bigg] 0, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \)
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{7.1.} \) Mostre que o perímetro do triângulo \( [OAB] \) é dado, em função de \( \alpha \), por
\( f(\alpha) = 2 (1 + \cos{\alpha} + sen{\alpha}) \)
\( \mathrm{7.2.} \) Determine o valor de \( \alpha \) para o qual o perímetro do triângulo \( [OAB] \) é máximo.