M-A-12-EX-2011-F2

M12-EX-2011-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Os medicamentos produzidos num laboratório são embalados em caixas de igual aspecto exterior e indistinguíveis ao tacto. Um lote contém dez caixas de um medicamento X e vinte caixas de um medicamento Y. Desse lote, retiram-se, ao acaso, simultaneamente, quatro caixas para controlo de qualidade.
Qual é a probabilidade de as caixas retiradas serem todas do medicamento Y?
(A)   \( \dfrac{^{10}C_4}{^{30}C_4} \) (B)   \( \dfrac{^{20}C_4}{^{30}C_4} \) (C)   \( \dfrac{4}{^{30}C_4} \) (D)   \( \dfrac{2}{3} \)

M12-EX-2011-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.
Tabela
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( a \) e \( b \) são números reais
\( \bullet \)\( P (X \leq 1) = 3P(X = 5) \)
Qual é o valor de \( b \)?
(A)   \( \dfrac{1}{10} \) (B)   \( \dfrac{4}{15} \) (C)   \( \dfrac{7}{30} \) (D)   \( \dfrac{1}{5} \)

M12-EX-2011-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Seja a um número real positivo e seja \( X \) uma variável aleatória com distribuição Normal \( N(0,1) \)
Qual das igualdades seguintes é verdadeira?
(A)   \( P(X \leq a) + P(X \geq −a) = 0 \)
(B)   \( P(X \leq a) = P(X \geq −a) \)
(C)   \( P(X \leq a) + P(X \geq −a) = 1 \)
(D)   \( P(X \leq a) = P(X > a) \)

M12-EX-2011-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função polinomial \( f \), de grau 4.
Figura 1
Qual das expressões seguintes pode definir a função \( f^{\prime \prime} \), segunda derivada de \( f \)?
(A)   \( (x – 3)^2 \)
(B)   \( (x + 3)^2 \)
(C)   \( 9 – x^2 \)
(D)   \( x^2 – 9 \)

M12-EX-2011-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Para um certo número real positivo, \( k \), a função \( g \) definida em \( \mathbb{R} \) por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \dfrac{senx}{3x} & \ \text{se } \, x > 0 \\[1pt] & & \textsf{ é contínua. } \\ \\ ln(k-x) & \ \text{se } \; x \leq 0 \end{cases} \end{equation} \)
Qual é o valor de \( k \)?
(A)   \( \sqrt[3]{e} \) (B)   \( e^3 \) (C)   \( \dfrac{e}{3} \) (D)   \( 3e \)

M12-EX-2011-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( C \) é o ponto de coordenadas \( (1,0) \)
\( \bullet \)os pontos \( D \) e \( E \) pertencem ao eixo \( Oy \)
\( \bullet \)\( [AB] \) é um diâmetro do círculo trigonométrico
\( \bullet \)as rectas \( EA \) e \( BD \) são paralelas ao eixo \( Ox \)
\( \bullet \)\( q \) é a amplitude do ângulo \( COA \)
\( \bullet \)\( \theta \in \bigg]0, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \)
Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na Figura 2?
(A)   \( 2(cos{ \theta } + sen{ \theta }) \)
(B)   \( cos{ \theta } + sen { \theta } \)
(C)   \( 2(1 + cos{ \theta } + sen{ \theta }) \)
(D)   \( 1 + cos{ \theta } + sen{ \theta } \)

M12-EX-2011-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Na Figura 3, está representado, no plano complexo, a sombreado, um sector circular.
Sabe-se que:
\( \bullet \)o ponto \( A \) é a imagem geométrica do número complexo \( −\sqrt{3} + i \)
\( \bullet \)o ponto \( B \) tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a \( \overline{OA} \)
Figura 3
Qual das condições seguintes define, em \( \mathbb{C} \), a região a sombreado, incluindo a fronteira?
(Considere como \( arg(z) \) a determinação que pertence ao intervalo \( \bigg[ 0, 2\pi \bigg[ \)
(A)   \( |z| \leq 2 \wedge \dfrac{2\pi}{3} \leq arg(z) \leq \pi \)
(B)   \( |z| \leq 2 \wedge \dfrac{5\pi}{6} \leq arg(z) \leq \pi \)
(C)   \( |z| \leq 4 \wedge \dfrac{2\pi}{3} \leq arg(z) \leq \pi \)
(D)   \( |z| \leq 4 \wedge \dfrac{5\pi}{6} \leq arg(z) \leq \pi \)

M12-EX-2011-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 4, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números complexos \( z_1 \), \( z_2 \), \( z_3 \),\( z_4 \), \( z_5 \) e \( z_6 \)
Figura 4
Qual é o número complexo que pode ser igual a \( (z_2 + z_4) × i \)?
(A)   \( z_1 \)
(B)   \( z_3 \)
(C)   \( z_5 \)
(D)   \( z_6 \)

M12-EX-2011-F2-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos. Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
\( \mathrm{1.1.} \) Considere \( z_1= 1 + 2i \) e \( w= \dfrac{z_1 \times i^{4n+3} -b}{ \sqrt2 cis \bigg( \dfrac{5\pi}{4} \bigg)} \), com \( b \in \mathbb{R} \) e \( n \in \mathbb{N} \)
Determine o valor de \( b \) para o qual \( \omega \) é um número real.
\( \mathrm{1.1.} \) Seja \( z \) um número complexo tal que \( |z| = 1 \)
Mostre que \( |1+z|^2 + |1-z|^2 = 4 \)

M12-EX-2011-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) A MatFinance é uma empresa de consultoria financeira.
\( \mathrm{2.1.} \) Dos funcionários da MatFinance, sabe-se que:
\( \bullet \)\( 60% \) são licenciados;
\( \bullet \)dos que são licenciados, \( 80% \) têm idade inferior a \( 40 \) anos;
\( \bullet \)dos que não são licenciados, \( 10% \) têm idade inferior a \( 40 \) anos.
Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser licenciado, sabendo que tem idade não inferior a \( 40 \) anos.
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
\( \mathrm{2.2.} \) Considere o problema seguinte.
«Foi pedido a \( 15 \) funcionários da MatFinance que se pronunciassem sobre um novo horário de trabalho.
Desses \( 15 \) funcionários, \( 9 \) estão a favor do novo horário, \( 4 \) estão contra, e os restantes estão indecisos. Escolhe-se, ao acaso, \( 3 \) funcionários de entre os \( 15 \) funcionários considerados.
De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os \( 3 \) funcionários, de forma que pelo menos \( 2 \) dos funcionários escolhidos estejam a favor do novo horário de trabalho?»
Apresentam-se, em seguida, duas respostas.
Resposta I: ^15C_3 − ^6C_3 Resposta II: 6 × ^9C_2 + ^9C_3
Apenas uma das respostas está correcta.
Elabore uma composição na qual:
\( \bullet \)identifique a resposta correcta;
\( \bullet \)explique um raciocínio que conduza à resposta correcta;
\( \bullet \)proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorrecta, de modo a torná-la correcta;
\( \bullet \)explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

M12-EX-2011-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago \( A \) e o lago \( B \).
Às zero horas do dia 1 de Março de 2010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana.
\( N_A(t) \) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago \( A \), \( t \) dias após as zero horas do dia 1 de Março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem-se segundo o modelo
\( N_A(t) = \dfrac{120}{1+7 \times e^{-0,2t} \) com \( t \geq 0 \)
\( N_B(t) \) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago \( B \), \( t \) dias após as zero horas do dia 1 de Março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem-se segundo o modelo
\( N_A(t) = \dfrac{150}{1+50 \times e^{-0,4t} \) com \( t \geq 0 \)
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{3.1.} \) Como foi referido, às zero horas do dia 1 de Março de 2010, o lago \( A \) recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos 7 dias, esse número aumentou.
Determine de quanto foi esse aumento.
Apresente o resultado com arredondamento às unidades.
\( \mathrm{3.2.} \) Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de Março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lago \( A \) fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago \( B \).
Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

M12-EX-2011-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \bigg] 0, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \), definida por \( f(x) = e^{2x} + \cos{x} − 2x^2 \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( B \) é um ponto do gráfico de \( f \)
\( \bullet \)a recta de equação \( y = 8x \) é paralela à recta tangente ao gráfico de \( f \) no ponto \( B \)
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto \( B \)
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)equacionar o problema;
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar a abcissa do ponto \( B \) com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2011-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( [0, +\infty[ \), definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2-x} – 1}{x – 2} & \ \text{se } \, 0 \leq x < 2 \\ \\ \dfrac{x + 1}{ln(x + 1)} & \ \text{se } \; x \geq 2 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{5.1.} \) Estude \( f \) quanto à existência de assimptotas verticais do seu gráfico.
\( \mathrm{5.2.} \) Mostre, sem resolver a equação, que \( f(x) = -3 \) tem, pelo menos, uma solução em \( \bigg] 0, \dfrac{1}{2} \bigg[ \)
\( \mathrm{5.3.} \) 5.3.  Estude \( f \) quanto à monotonia em \( ]2, +\infty[ \)

M12-EX-2011-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Para \( a \), \( b \) e \( n \), números reais positivos, considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por \( f(x) = a\cos(nx) + bsen(nx) \)
Seja \( f^{\prime \prime} \) a segunda derivada da função \( f \)
Mostre que \( f^{\prime \prime} (x)+ n^2f(x) = 0 \), para qualquer número real \( x \)