M-A-12-EX-2011-PE

M12-EX-2011-EE-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \Omega \) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos \ ( (A\subset\Omega e B\subset\Omega) \).
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( P(\overline{A}) = 0,9 \)
\( \bullet \)\( P(A \cup B) = 0,73 \)
\( \bullet \)\( A \) e \( B \) são acontecimentos independentes
Qual é o valor de \( P(B) \)?
(A)   \( 0,63 \) (B)   \( 0,657 \) (C)   \( 0,073 \) (D)   \( 0,7 \)

M12-EX-2011-EE-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Uma turma do 12.º ano de uma escola secundária tem \( 18 \) raparigas e \( 10 \) rapazes. Nessa turma, \( 20 \) alunos têm Inglês. Dos alunos da turma que têm Inglês só \( 4 \) são rapazes.
Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa turma.
Qual é a probabilidade de o aluno escolhido não ter Inglês, sabendo que é rapariga?
(A)   \( \dfrac{1}{9} \) (B)   \( \dfrac{2}{9} \) (C)   \( \dfrac{3}{5} \) (D)   \( \dfrac{1}{4} \)

M12-EX-2011-EE-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) O terceiro elemento de uma linha do triângulo de Pascal é \( 61 075 \)
A soma dos três primeiros elementos dessa linha é \( 61 426 \)
Qual é a soma dos três últimos elementos da linha seguinte?
(A)   \( 61 425 \) (B)   \( 61 426 \) (C)   \( 1 777 \) (D)   \( 122 501 \)

M12-EX-2011-EE-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( ]0, +\infty[ \), definida por
Seja \( u_n \) uma sucessão de números reais, de termos positivos, tal que \( lim f(u_n) = 3 \)
Qual das expressões seguintes pode definir o termo geral da sucessão \( u_n \)?
(A)   \( 2-\dfrac{1}{n} \)
(B)   \( 2+\dfrac{1}{n} \)
(C)   \( 3-\dfrac{1}{n} \)
(D)   \( 3+\dfrac{1}{n} \)

M12-EX-2011-EE-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função \( h^\prime \), primeira derivada de \( h \)
Figura 1
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( h \)?
(A)   \( <----------------gráficos----------------------- \)

M12-EX-2011-EE-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Sejam \( f \) e \( g \) duas funções deriváveis em \( \mathbb{R} \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( f(1)=f^\prime(1)=1 \)
\( \bullet \)\( g(x)=(2x-1) \times f(x) \), para todo o valor real de \( x \)
Qual é a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de \( g \) no ponto de abcissa \( 1 \)?
(A)   \( y = 3x – 2 \)
(B)   \( y = 3x + 4 \)
(C)   \( y = 2x – 1 \)
(D)   \( y =-3x + 2 \)

M12-EX-2011-EE-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z = 8cis(\dfrac{\pi}{6}) \)
Qual dos números complexos seguintes é uma das raízes de índice seis de \( z \)?
(A)   \( \sqrt{2}cis \bigg( \dfrac{25\pi}{36} \bigg) \)
(B)   \( \sqrt{2}cis \bigg(\dfrac{-\pi}{36} \bigg) \)
(C)   \( 2\sqrt{2}cis \bigg(\dfrac{25\pi}{36} \bigg) \)
(D)   \( 2\sqrt{2}cis \bigg(\dfrac{-\pi}{36} \bigg) \)

M12-EX-2011-EE-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 2, estão representados, no plano complexo, seis pontos, \( M \), \( N \), \( P \), \( Q \), \( R \) e \( S \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)o ponto \( M \) é a imagem geométrica do número complexo \( z_1 = 2 + i \)
\( \bullet \)o ponto \( N \) é a imagem geométrica do número complexo \( z_1 \times z_2 \)
Figura 2
Qual dos pontos seguintes pode ser a imagem geométrica do número complexo \( z_2 \)?
(A)   ponto \( P \)
(B)   ponto \( Q \)
(C)   ponto \( R \)
(D)   ponto \( S \)

M12-EX-2011-EE-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
\( \mathrm{1.1.} \) Seja \( w \) o número complexo com coeficiente da parte imaginária positivo que é solução da equação \( z^2 +z +1 = 0 \)
Determine \( \dfrac{1}{w} \)
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
\( \mathrm{1.2.} \) Seja \( z \) um número complexo.
Mostre que \( ( \overline z + i) \times (z − i) = |z-i|^2 \), para qualquer número complexo \( z \)
(\( \overline z \) designa o conjugado de \( z \) )

M12-EX-2011-EE-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Na Figura 3, está representado um tetraedro com as faces numeradas de \( 1 \) a \( 4 \)
Figura 3
\( \mathrm{2.1.} \) O João tem um catálogo de tintas com \( 12 \) cores diferentes, uma das quais é a sua preferida.
O João selecciona, ao acaso, \( 4 \) cores diferentes para pintar as quatro faces do tetraedro.
Cada uma das faces é pintada com uma única cor.
Determine a probabilidade de o tetraedro ter uma das faces pintadas com a cor preferida do João.
Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
\( \mathrm{2.2.} \) Considere a experiência aleatória que consiste em lançar \( 3 \) vezes o tetraedro representado na Figura 3 e registar, em cada lançamento, o número inscrito na face voltada para baixo.
Seja \( X \) a variável aleatória «número de vezes que, nesses três lançamentos do tetraedro, se regista o número \( 1 \)».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável \( X \)
Apresente as probabilidades na forma de fracção.
\( \mathrm{2.3.} \) Considere, agora, a experiência aleatória que consiste em lançar \( 4 \) vezes o tetraedro representado na Figura 3 e registar, em cada lançamento, o número inscrito na face voltada para baixo.
Sejam \( I \) e \( J \) os acontecimentos seguintes.
I: «o número registado nos três primeiros lançamentos do tetraedro é o número \( 2 \)»;
J: «a soma dos números registados nos quatro lançamentos do tetraedro é menor do que \( 10 \)».
Indique o valor de \( P(J|I) \) sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.
Numa composição, explique o seu raciocínio, começando por referir o significado de \( P(J|I) \) no contexto da situação descrita.

M12-EX-2011-EE-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) O momento sísmico, \( M_0 \), é uma medida da quantidade total de energia que se transforma durante um sismo. Só uma pequena fracção do momento sísmico é convertida em energia sísmica irradiada, \( E \), que é a que os sismógrafos registam.
A energia sísmica irradiada é estimada, em Joules, por \( E = M_0 \times 1,6 \times 10^{−5} \)
A magnitude, \( M \), de um sismo é estimada por \( M = \dfrac{2}{3} log_{10} (E) − 2,9 \)
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{3.1.} \) Admita que um sismo que ocorreu no Haiti, em 2010, teve magnitude \( 7,1 \)
Determine o momento sísmico, \( M_0 \), para esse sismo.
Escreva o resultado na forma \( a \times 10_n \), com \( n \) inteiro relativo e com \( a \) entre \( 1 \) e \( 10 \)
\( \mathrm{3.2.} \) Sejam \( M_1 \) e \( M_2 \) as magnitudes de dois sismos.
Mostre que, se a diferença entre a magnitude \( M_1 \) e a magnitude \( M_2 \)  é igual a \( \dfrac{2}{3} \), então a energia sísmica irradiada por um dos sismos é dez vezes superior à energia sísmica irradiada pelo outro sismo.

M12-EX-2011-EE-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} k+\dfrac{1-e^{x-1}}{x-1} & \ \text{se } \, x < 1 \\[1pt] & & (k \textsf{ designa um número real}) \\ \\ -x+ln(x) & \ \text{se } \; x \geq 1 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{4.1.} \) Determine \( k \), sabendo que \( f \) é contínua em \( x = 1 \)
\( \mathrm{4.2.} \) Considere, agora, \( k = 3 \)
Estude a função \( f \) quanto à existência de assimptotas horizontais do gráfico de \( f \)

M12-EX-2011-EE-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Na Figura 4, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o gráfico da função \( g \), de domínio \( \bigg] -\pi, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \), definida por \( g(x) = x − 2 cosx \)
Sabe-se que \( C \) e \( D \) são pontos do gráfico de \( g \) cujas ordenadas são extremos relativos de \( g \)
Figura 4
Determine os valores exactos das coordenadas dos pontos \( C \) e \( D \) recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

M12-EX-2011-EE-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 5, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função \( f \), de domínio \( ]-\infty, 6[ \), definida por \( f(x) = 2 + 15 ln \bigg( 3 − \dfrac{1}{2} x \bigg) \)
Considere que um ponto \( C \) se desloca ao longo do gráfico de \( f \), e que \( C \) tem coordenadas positivas.
Para cada posição do ponto \( C \), considere o rectângulo \( [OACB] \), em que o ponto \( A \) pertence ao eixo das abcissas e o ponto \( B \) pertence ao eixo das ordenadas.
Figura 5
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto \( A \) para a qual a área do rectângulo \( [OACB] \) é máxima.
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)escrever a expressão que dá a área do rectângulo \( [OACB] \) em função da abcissa do ponto \( A \);
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar a abcissa do ponto \( A \) com arredondamento às centésimas.