\( \mathrm{1.} \) |
Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos. |
|
Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora. |
|
\( \mathrm{1.1.} \) |
Considere o número complexo \( z=8\sqrt{3}-8i \) |
|
|
Determine as raízes de índice 4 de \( z \) |
|
|
Apresente as raízes na forma trigonométrica. |
|
\( \mathrm{1.2.} \) |
Seja \( w \) um número complexo não nulo. |
|
|
Mostre que, se o conjugado de \( w \) é igual a metade do inverso de \( w \), então a imagem geométrica de \( w \) pertence à circunferência de centro na origem e de raio \( \dfrac{\sqrt(2)}{2} \) |
\( \mathrm{2.} \) |
Considere uma empresa em que: |
|
\( \bullet \)80% dos funcionários apostam no euromilhões; |
|
\( \bullet \)dos funcionários que apostam no euromilhões, 25% apostam no totoloto; |
|
\( \bullet \)5% dos funcionários não apostam no euromilhões nem no totoloto. |
|
\( \mathrm{2.1.} \) |
Determine a probabilidade de, ao escolher, ao acaso, um funcionário dessa empresa, ele apostar no totoloto. |
|
\( \mathrm{2.2.} \) |
Considere agora que essa empresa tem 50 funcionários. |
|
|
Escolhem-se, ao acaso, oito funcionários dessa empresa. |
|
|
Determine a probabilidade de, pelo menos, sete desses funcionários serem apostadores no euromilhões. |
|
|
Apresente o resultado com arredondamento às centésimas. |
\( \mathrm{4.} \) |
Admita que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro,t minutos após a sua colocação na água, é dada, aproximadamente, por |
|
\( C(t) = 0,5t^2 \times e^{-0,1t} \), com \( t \geq 0 \) |
|
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. |
|
\( \mathrm{4.1.} \) |
Mostre que, durante os primeiros 15 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro. |
|
|
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. |
|
\( \mathrm{4.2.} \) |
Determine o valor de \( t \) para o qual a concentração desse produto químico na água é máxima. |
\( \mathrm{5.} \) |
Considere as funções \( f \) e \( g \), de domínio \( \mathbb{R} \), definidas, respetivamente, por |
|
\( f(x) = -x +sen \bigg( \dfrac{x}{2} \bigg) \) e \( \begin{equation} g(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)}{x} & \ \text{se } \, x \neq 0 \\[1pt] & & \textsf{com} \;\ k \in \mathbb{R} \\ \\ e^k-1 & \ \text{se } \; x = 0 \end{cases} \end{equation} \) |
|
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. |
|
\( \mathrm{5.1.} \) |
Determine \( k \) de modo que a função \( g \) seja contínua. |
|
\( \mathrm{5.2.} \) |
Determine, em \( ]-2\pi, 5\pi[ \), as soluções da equação \( 2 f^\prime (x) = \bigg( f(x) + x \bigg)^2 -1 \) |
\( \mathrm{6.} \) |
Considere, num referencial o. n. \( \mathrm{xOy} \), o gráfico de uma função \( h \), de domínio R |
|
Sabe-se que: |
|
\( \bullet \)a, b e c são números reais positivos e a
|
|
\( \bullet \)h tem um mínimo relativo em \( ]a,c[ \) |
|
\( \bullet \)h é crescente em \( ]−\infty, 0[ \) |
|
\( \bullet \)—————-limite————— |
|
\( \bullet \)a segunda derivada, \( h^{\prime \prime} \) , da função \( h \) é tal que \( f^{\prime \prime} (x)>0 \) para \( x>b \) |
|
Apenas uma das opções seguintes pode representar uma parte do gráfico da função \( h \) |
|
——————–gráficos—————— |
|
Elabore uma composição na qual: |
|
\( \bullet \)indique a opção que pode representar \( h \) |
|
\( \bullet \)apresente três razões para rejeitar as restantes opções, uma por cada opção rejeitada. |
\( \mathrm{7.} \) |
Considere, num referencial o. n. \( \mathrm{xOy} \), o gráfico da função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por |
|
\( f(x) = e^{0,1x} + ln(3x+1) \) |
|
Seja P um ponto do gráfico de \( f \) |
|
A distância do ponto \( P \) à origem é igual a \( 2 \) |
|
Determine a abcissa do ponto \( P \), recorrendo à calculadora gráfica. |
|
Na sua resposta, deve: |
|
\( \bullet \)equacionar o problema; |
|
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; |
|
\( \bullet \)indicar a abcissa do ponto \( P \) com arredondamento às centésimas. |