M-A-12-EX-2012-EE

M12-EX-2012-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo número designa-se por capicua. Por exemplo, 103301 é capicua.
Quantos números com seis algarismos são capicuas?
(A)   \( 729 \) (B)   \( 900 \) (C)   \( 810 000 \) (D)   \( 900 000 \)

M12-EX-2012-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória \( X \) é a seguinte.
Sabe-se que \( P(X=0 \vee X=1)=0,81 \)
Qual é o valor médio de \( X \)?
(A)   \( 0,46 \) (B)   \( 0,27 \) (C)   \( 0,08 \) (D)   \( 0 \)

M12-EX-2012-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Considere um dado cúbico, com as faces numeradas de \( 1 \) a \( 6 \), e um saco que contém cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: \( 0, 1, 2, 3 \) e \( 4 \).
Lança-se o dado uma vez e retira-se, ao acaso, uma bola do saco, registando-se os números que saíram.
Qual é a probabilidade de o produto desses números ser igual a zero?
(A)   \( 0 \) (B)   \( \dfrac{1}{15} \) (C)   \( \dfrac{1}{30} \) (D)   \( \dfrac{1}{5} \)

M12-EX-2012-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o. n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de \( h^{\prime \prime} \), segunda derivada de uma função \( h \), de domínio \( \mathbb{R} \)
Figura 1
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( h \)?
(A)   \( ——————gráficos—————– \)

M12-EX-2012-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Sejam \( f \) e \( g \) funções de domínio \( ]0, +\infty[ \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)a reta de equação \( y=3 \) é assíntota horizontal do gráfico de \( f \)
\( \bullet \)\( f \) não tem zeros;
\( \bullet \)\( g(x)=\dfrac{e^{−x}-3}{f(x)} \)
Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de \( g \)?
(A)   \( y=3 \) (B)   \( y=e \) (C)   \( y=0 \) (D)   \( y=-1 \)

M12-EX-2012-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Sejam a, b e c três números tais que \( a\in]1,+\infty[ \), \( b\in \mathbb{R}^+ \) e \( c\in \mathbb{R}^+ \)
Sabe-se que \( log_a(b)=c \) e que \( log_a(\sqrt{c})=3 \)
Qual das expressões seguintes é equivalente a \( log_a(\sqrt{bxc}) \)?
(A)   \( c+3 \) (B)   \( c-3 \) (C)   \( \dfrac{c}{2}+3 \) (D)   \( \dfrac{c}{2}-3 \)

M12-EX-2012-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Sejam \( k \) e \( p \) dois números reais tais que os números complexos \( z=1+i \) e \( w=(k−1)+2p i^{11} \) sejam inversos um do outro.
Qual é o valor de \( k+p \)
(A)   \( -\dfrac{1}{4} \) (B)   \( \dfrac{1}{2} \) (C)   \( \dfrac{5}{4} \) (D)   \( \dfrac{7}{4} \)

M12-EX-2012-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 2, estão representadas, no plano complexo, uma circunferência, de centro na origem e de raio 1, e uma reta \( r \), definida por \( Re(z)=\dfrac{1}{2} \)
Seja \( z_1 \) o número complexo cuja imagem geométrica está no 1.º quadrante e é o ponto de intersecção da circunferência com a reta r
Figura 2
Qual das opções seguintes apresenta uma equação de que \( z_1 \) é solução?
(A)   \( |z-1|=|z-i| \) (B)   \( Im(z)= \dfrac{\sqrt{3} }{2} \) (C)   \( \bigg| z-\dfrac{1}{2} \bigg| =1 \) (D)   \( |1-z|= \sqrt{2} \)

M12-EX-2012-F2-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos.
Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
\( \mathrm{1.1.} \) Considere o número complexo \( z=8\sqrt{3}-8i \)
Determine as raízes de índice 4 de \( z \)
Apresente as raízes na forma trigonométrica.
\( \mathrm{1.2.} \) Seja \( w \) um número complexo não nulo.
Mostre que, se o conjugado de \( w \) é igual a metade do inverso de \( w \), então a imagem geométrica de \( w \) pertence à circunferência de centro na origem e de raio \( \dfrac{\sqrt(2)}{2} \)

M12-EX-2012-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Considere uma empresa em que:
\( \bullet \)80% dos funcionários apostam no euromilhões;
\( \bullet \)dos funcionários que apostam no euromilhões, 25% apostam no totoloto;
\( \bullet \)5% dos funcionários não apostam no euromilhões nem no totoloto.
\( \mathrm{2.1.} \) Determine a probabilidade de, ao escolher, ao acaso, um funcionário dessa empresa, ele apostar no totoloto.
\( \mathrm{2.2.} \) Considere agora que essa empresa tem 50 funcionários.
Escolhem-se, ao acaso, oito funcionários dessa empresa.
Determine a probabilidade de, pelo menos, sete desses funcionários serem apostadores no euromilhões.
Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2012-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( \Omega \) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos \ ( (A\subset\Omega e B\subset\Omega) \).
Mostre que, se \( A \) e \( B \) são dois acontecimentos independentes, então
\( P( \overline A \cap B) + P( \overline A ) \times \bigg( 1- P(B) \bigg) = P( \overline A) \)

M12-EX-2012-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Admita que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro,t minutos após a sua colocação na água, é dada, aproximadamente, por
\( C(t) = 0,5t^2 \times e^{-0,1t} \), com \( t \geq 0 \)
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{4.1.} \) Mostre que, durante os primeiros 15 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro.
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.
\( \mathrm{4.2.} \) Determine o valor de \( t \) para o qual a concentração desse produto químico na água é máxima.

M12-EX-2012-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere as funções \( f \) e \( g \), de domínio \( \mathbb{R} \), definidas, respetivamente, por
\( f(x) = -x +sen \bigg( \dfrac{x}{2} \bigg) \) e \( \begin{equation} g(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)}{x} & \ \text{se } \, x \neq 0 \\[1pt] & & \textsf{com} \;\ k \in \mathbb{R} \\ \\ e^k-1 & \ \text{se } \; x = 0 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{5.1.} \) Determine \( k \) de modo que a função \( g \) seja contínua.
\( \mathrm{5.2.} \) Determine, em \( ]-2\pi, 5\pi[ \), as soluções da equação \( 2 f^\prime (x) = \bigg( f(x) + x \bigg)^2 -1 \)

M12-EX-2012-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Considere, num referencial o. n. \( \mathrm{xOy} \), o gráfico de uma função \( h \), de domínio R
Sabe-se que:
\( \bullet \)a, b e c são números reais positivos e a
\( \bullet \)h tem um mínimo relativo em \( ]a,c[ \)
\( \bullet \)h é crescente em \( ]−\infty, 0[ \)
\( \bullet \)—————-limite—————
\( \bullet \)a segunda derivada, \( h^{\prime \prime} \) , da função \( h \) é tal que \( f^{\prime \prime} (x)>0 \) para \( x>b \)
Apenas uma das opções seguintes pode representar uma parte do gráfico da função \( h \)
——————–gráficos——————
Elabore uma composição na qual:
\( \bullet \)indique a opção que pode representar \( h \)
\( \bullet \)apresente três razões para rejeitar as restantes opções, uma por cada opção rejeitada.

M12-EX-2012-F2-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, num referencial o. n. \( \mathrm{xOy} \), o gráfico da função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por
\( f(x) = e^{0,1x} + ln(3x+1) \)
Seja P um ponto do gráfico de \( f \)
A distância do ponto \( P \) à origem é igual a \( 2 \)
Determine a abcissa do ponto \( P \), recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)equacionar o problema;
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar a abcissa do ponto \( P \) com arredondamento às centésimas.