M-A-12-EX-2012-F1

M12-EX-2012-F1-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \Omega \) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos \ ( (A\subset\Omega e B\subset\Omega) \).
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( A \) e \( B \) são acontecimentos independentes;
\( \bullet \)\( P(\overline{A})= \dfrac{7}{10} \)
\( \bullet \)\( P(A\cup B)= \dfrac{3}{4} \)
Qual é o valor de \( P(B) \)
(A)   \( \dfrac{5}{14} \) (B)   \( \dfrac{9}{14} \) (C)   \( \dfrac{9}{20} \) (D)   \( \dfrac{11}{20} \)

M12-EX-2012-F1-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Para assistirem a um espetáculo, o João, a Margarida e cinco amigos sentam-se, ao acaso, numa fila com sete lugares.
Qual é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados um ao lado do outro?
(A)   \( \dfrac{2×5!}{7!} \) (B)   \( \dfrac{5!}{7!} \) (C)   \( \dfrac{2}{7} \) (D)   \( \dfrac{5}{7} \)

M12-EX-2012-F1-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Numa caixa com 12 compartimentos, pretende-se arrumar 10 copos, com tamanho e forma iguais: sete brancos, um verde, um azul e um roxo. Em cada compartimento pode ser arrumado apenas um copo.
De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?
(A)   \( ^{12}A_7\times3! \) (B)   \( ^{12}A_7\times^5C_3 \) (C)   \( ^{12}C_7\times^5A_3 \) (D)   \( ^{12}C_7\times^{12}A_3 \)

M12-EX-2012-F1-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Seja \( f \)  uma função de domínio \( \mathbb{R} \),  definida por \( f(x)=e^x−3 \)
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação \( f(x)=-x-\dfrac{3}{2} \) tem, pelo menos, uma solução?
(A)   \( \bigg] 0,\dfrac{1}{5} \bigg[ \) (B)   \( \bigg] \dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4} \bigg[ \) (C)   \( \bigg] \dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3} \bigg[ \) (D)   \( \bigg] \dfrac{1}{3},1 \bigg[ \)

M12-EX-2012-F1-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função \( g \), de domínio \( [a,+\infty[ \), com \( a<-\dfrac{1}{3} \)
Para esse valor de \( a \), a função \( f \), contínua em \( \mathbb{R} \), é definida
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} log_3 \bigg( -x- \dfrac{1}{3} \bigg) & \ \text{se } \, x < a \\ \\ g(x) & \ \text{se } \; x \geq a \end{cases} \end{equation} \)
Figura 1
Qual é o valor de \( a \)?
(A)   \( -\dfrac{28}{3} \) (B)   \( -\dfrac{25}{3} \) (C)   \( -\dfrac{19}{3} \) (D)   \( -\dfrac{8}{3} \)

M12-EX-2012-F1-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 2, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \)
Figura 2
Sejam \( f^\prime \) e \( f^{\prime \prime} \), de domínio \( \mathbb{R} \), a primeira derivada e a segunda derivada de \( f \), respetivamente.
Qual dos valores seguintes pode ser positivo?
(A)   \( f^\prime (1) \) (B)   \( f^\prime (-3) \) (C)   \( f^{\prime \prime} (-3) \) (D)   \( f^{\prime \prime} (1) \)

M12-EX-2012-F1-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Na Figura 3, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: \( w, z_1, z_2, z_3 e z_4 \)
Qual é o número complexo que pode ser igual a \( \dfrac{w}{3i} \)?
(A)   \( z_1 \)
(B)   \( z_2 \)
(C)   \( z_3 \)
(D)   \( z_4 \)
Figura 3

M12-EX-2012-F1-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 4, está representada, a sombreado, no plano complexo, parte de uma coroa circular.
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( O \) é a origem do referencial;
\( \bullet \)o ponto \( Q \) é a imagem geométrica do complexo \( –1+i \)
\( \bullet \)a reta \( PQ \) é paralela ao eixo real;
\( \bullet \)as circunferências têm centro na origem;
\( \bullet \)os raios das circunferências são iguais a 3 e a 6
Considere como \( arg(z) \) a determinação que pertence ao intervalo \( [-\pi,\pi[ \)
Figura 4
Qual das condições seguintes pode definir, em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, a região a sombreado, incluindo a fronteira?
(A)   \( 3 \leq |z| \leq 6 \wedge -\pi \leq arg(z-1+i) \leq \dfrac{3\pi}{4} \)
(B)   \( 9 \leq |z| \leq 36 \wedge -\pi \leq arg(z+1-i) \leq \dfrac{3\pi}{4} \)
(C)   \( 3 \leq |z| \leq 6 \wedge -\pi \leq arg(z+1-i) \leq \dfrac{3\pi}{4} \)
(D)   \( 9 \leq |z| \leq 36 \wedge -\pi \leq arg(z-1+i) \leq \dfrac{3\pi}{4} \)

M12-EX-2012-F1-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z_1=(-2+i)^3 \) e \( z_2=\dfrac{1+28i}{2+i} \)
\( \mathrm{1.1} \) Resolva a equação \( z^3 + z_1 = z_2 \),  sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.
\( \mathrm{1.2} \) Seja \( \omega \) um número complexo não nulo.
Mostre que, se \( \omega \) e \( \dfrac{1}{\omega} \) são raízes de índice \( n \) de um mesmo número complexo \( z \), então \( z = 1 \) ou \( z = –1 \)

M12-EX-2012-F1-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Numa escola, realizou-se um estudo sobre os hábitos alimentares dos alunos. No âmbito desse estudo, analisou-se o peso de todos os alunos.
Sabe-se que:
\( \bullet \)55%  dos alunos são raparigas;
\( \bullet \)30%  das raparigas têm excesso de peso;
\( \bullet \)40%  dos rapazes não têm excesso de peso.
\( \mathrm{2.1} \) Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola.
Determine a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz, sabendo que tem excesso de peso.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
\( \mathrm{2.2} \) Considere agora que a escola onde o estudo foi realizado tem 200 alunos.
Pretende-se escolher, ao acaso, três alunos para representarem a escola num concurso.
Determine a probabilidade de serem escolhidos duas raparigas e um rapaz.
Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2012-F1-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Num saco estão cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: –2, –1, 0, 1 e 2
Extraem-se, ao acaso e em simultâneo, quatro bolas do saco.
Seja \( X \) a variável aleatória «produto dos números inscritos nas bolas extraídas».
A tabela de distribuição de probabilidades da variável  X  é a seguinte.
Tabela
Elabore uma composição na qual:
\( \bullet \)explique os valores da variável \( X \)
\( \bullet \)justifique cada uma das probabilidades.

M12-EX-2012-F1-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), e a função \( g \), de domínio \( ]0,+\infty[ \), definidas por
\( f(x) = e^{x-2} – \dfrac{4e^{-x} +4}{e^2} \) e \( g(x) =-ln(x) + 4 \)
\( \mathrm{4.1.} \) Mostre que \( \ln(2+2\sqrt{2}) \) é o único zero da função \( f \), recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{4.2.} \) Considere, num referencial o. n. \( \mathrm{xOy} \), os gráficos das funções \( f \) e \( g \) e o triângulo \( [OAB] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( O \) é a origem do referencial;
\( \bullet \)\( A \) e \( B \) são pontos do gráfico de \( f \)
\( \bullet \)a abcissa do ponto \( A \) é o zero da função \( f \)
\( \bullet \)o ponto \( B \) é o ponto de intersecção do gráfico da função \( f \) com o gráfico da função \( g \)
Determine a área do triângulo \( [OAB] \), recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)reproduzir os gráficos das funções \( f \) e \( g \), devidamente identificados, incluindo o referencial;
\( \bullet \)assinalar os pontos \( A \) e \( B \)
\( \bullet \)indicar a abcissa do ponto \( A \) e as coordenadas do ponto \( B \) com arredondamento às centésimas;
\( \bullet \)apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas.

M12-EX-2012-F1-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} xln(x + 1) -xln(x) + 3x & \ \text{se } \, x > 0 \\ \\ xe^{1-x} & \ \text{se } \; x \leq 0 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{5.1.} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.
\( \mathrm{5.2.} \) Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \( f \) no ponto de abcissa \( x=–1 \)

M12-EX-2012-F1-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo \( [ABCD] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( \overline{BC} = 1 \)
\( \bullet \)\( \overline{CD} = 1 \)
\( \bullet \)\( \alpha \) é a amplitude, em radianos, do ângulo \( ADC \)
\( \bullet \)\( \alpha \in \bigg] \dfrac{\pi}{2}, \pi \bigg[ \)
Figura 5
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
\( \mathrm{6.1.} \) Mostre que o perímetro do trapézio \( [ABCD] \) é dado, em função de \( \alpha \), por \( P(a)=3+\dfrac{1-\cos(\alpha)}{sen(\alpha)}
\( \mathrm{6.2.} \) Para um certo número real \( \theta \), tem-se que \( tg \theta = -\sqrt{8} \), com \( \dfrac{\pi}{2}< \theta< \pi \)
Determine o valor exato de \( P^\prime (\theta) \)
Comece por mostrar que \( P^\prime (\theta) = \dfrac{1-\cos(\alpha)}{sen^2(\alpha)} \)