M-A-12-EX-2013-F1

M12-EX-2013-F1-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Num grupo de nove pessoas, constituído por seis homens e três mulheres, vão ser escolhidos três elementos para formarem uma comissão.
Quantas comissões diferentes se podem formar com exatamente duas mulheres?
(A)   \( 3^C_2 \) (B)   \( 6×3^C_2 \) (C)   \( 9^A_3 \) (D)   \( 6×3^A_2 \)

M12-EX-2013-F1-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória \( X \) é a seguinte.
—————-tabela———————
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( a \) e \( b \) são números reais;
\( \bullet \)\( P(X>1)=P(X<2) \)
Qual é o valor médio da variável aleatória \( X \)?
(A)   \( \dfrac{3}{2} \) (B)   \( \dfrac{7}{5} \) (C)   \( \dfrac{17}{9} \) (D)   \( \dfrac{19}{12} \)

M12-EX-2013-F1-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Considere uma variável aleatória \( X \) com distribuição normal de valor médio \( 11 \) e desvio padrão \( \sigma \)
Sabe-se que \( \sigma \) é um número natural e que \( P(X>23) \approx 0,02275 \)
Qual é o valor de \( \sigma \)?
(A)   \( 12 \) (B)   \( 11 \) (C)   \( 6 \) (D)   \( 4 \)

M12-EX-2013-F1-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \mathbb{R}\{0} \), definida por \( f(x)=\dfrac{sen(-x)}{x} \)
Considere a sucessão de números reais \( (x_n) \) tal que \( x_n=\dfrac{1}{n} \)
Qual é o valor de \( limf(x_n) \)?
(A)   \( -1 \) (B)   \( 0 \) (C)   \( 1 \) (D)   \( +\infty \)

M12-EX-2013-F1-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) uma função de domínio \( \mathbb{R}^+ \)
Sabe-se que ——————-limite———————
Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função \( f \)?
(A)   \( y=\dfrac{1}{3}x \) (B)   \( y=\dfrac{2}{3}x \) (C)   \( y=x \) (D)   \( y=3x \)

M12-EX-2013-F1-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Considere, para um certo número real \( a \) superior a 1, as funções \( f \) e \( g \), de domínio \( \mathbb{R} \), definidas por \( f(x)=a^x \) e \( g(x)=a^{-x} \)
Considere as afirmações seguintes.
I) Os gráficos das funções \( f \) e \( g \) não se intersectam.
II) As funções \( f \) e \( g \) são monótonas crescentes.
III) \( f^\prime(-1) – g^\prime(1) = \dfrac{2lna}{a} \)
Qual das opções seguintes é a correta?
(A)   II e III são verdadeiras.
(B)   I é falsa e III é verdadeira.
(C)   I é verdadeira e III é falsa.
(D)   II e III são falsas.

M12-EX-2013-F1-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Na Figura 1, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números complexos: \( w_1 \), \( w_2 \),\( w_3 \) e \( w_4 \)
Figura 1
Qual é o número complexo que, com \( n\in \mathbb{N} \), pode ser igual a \( i^{8n} × i^{8n−1} + i^{8n−2} \)?
(A)   \( w^1 \) (B)   \( w^2 \)
(C)   \( w^3 \) (D)   \( w^4 \)

M12-EX-2013-F1-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z=−8+6i \) e \( w=\dfrac{−i×z^2}{\overline z } \)
Seja \( \alpha \) um argumento do número complexo \( z \)
Qual das opções seguintes é verdadeira?
(A)   \( w=10cis \bigg( 3\alpha – \dfrac{\pi}{2} \bigg) \) (B)   \( w=2cis \bigg( 3\alpha – \dfrac{\pi}{2} \bigg) \)
(C)   \( w=10cis \bigg( \alpha – \dfrac{\pi}{2} \bigg) \) (D)   \( w=2cis \bigg( \alpha – \dfrac{\pi}{2} \bigg) \)

M12-EX-2013-F1-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z_1 = \sqrt{2} + 2cis \dfrac{3\pi}{4} \) e \( z_2=1+i \)
\( \mathrm{1.1} \) Sabe-se que \( \dfrac{z_1}{z_2} \) é uma raiz quarta de um certo número complexo \( w \)
Determine \( w \) na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{1.2} \) Seja \( z_3=cis\alpha \)
Determine o valor de \( \alpha \) pertencente ao intervalo \( ]-2\pi, -\pi[ \), sabendo que \( z_3 +\overline{z_2} \) é um número real.

M12-EX-2013-F1-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Uma caixa contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistinguíveis ao tato.
Sabe-se que:
\( \bullet \)duas bolas em cada cinco são pretas;
\( \bullet \)20% das bolas pretas têm um número par;
\( \bullet \)40% das bolas brancas têm um número ímpar.
\( \mathrm{2.1} \) Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa.
Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo que tem um número par.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
\( \mathrm{2.2} \) Admita agora que a caixa tem \( n \) bolas.
Extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa.
Determine \( n \), sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igual a \( \dfrac{7}{20} \)

M12-EX-2013-F1-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( Omega \) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam \( A e B \) dois acontecimentos \( (A\subset\Omega \) e \( B\subset\Omega) \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( P(B)=\dfrac{1}{4} \)
\( \bullet \)\( P(\overline{A} \cup \overline{B})= \dfrac{15}{16} \)
\( \bullet \)\( P(A|\overline{B})= \dfrac{7}{12} \)
Determine \( P(A) \)

M12-EX-2013-F1-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \),  de domínio \( \mathbb{R}\{0} \), definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x – 1}{e^{4x} -1} & \ \text{se } \, x < 0 \\ \\ x ln(x) & \ \text{se } \; x > 0 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os itens 4.1. e 4.2., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{4.1} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.
\( \mathrm{4.2} \) Seja \( g \) a função, de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( g(x)=f(x)−x+ln^2x \)
Estude a função \( g \) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em \( ]0,e[ \)
Resolva o item 4.3., recorrendo à calculadora gráfica.
\( \mathrm{4.3} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), a representação gráfica da função \( g \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( g(x)=f(x)−x+ln^2x \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( A \) é o ponto de coordenadas \( (2,0) \)
\( \bullet \)\( B \) é o ponto de coordenadas \( (5,0) \)
\( \bullet \)\( P \) é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função \( g \)
Para cada posição do ponto \( P \), considere o triângulo \( [ABP] \)
Determine as abcissas dos pontos \( P \) para os quais a área do triângulo \( [ABP] \) é \( 1 \)
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)equacionar o problema;
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar as abcissas dos pontos \( P \) com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2013-F1-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Na Figura 2 , está representada, num referencial ortogonal \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função polinomial \( f \), de grau \( 3 \)
Figura 2
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( -1 \) e \( 2 \) são os únicos zeros da função \( f \)
\( \bullet \)\( g^\prime \), a primeira derivada de uma certa função \( g \), tem domínio \( \mathbb{R} \) e é definida por \( g^\prime (x)=f(x)×e^{−x} \)
\( \bullet \)————–limite——————
Apenas uma das opções seguintes pode representar a função \( g \)
————–gráficos————–
Nota – Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.
Elabore uma composição na qual:
\( \bullet \)identifique a opção que pode representar a função \( g \)
\( \bullet \)apresente as razões para rejeitar as restantes opções.
Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.

M12-EX-2013-F1-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Considere a função \( g \), de domínio \( \bigg] -\dfrac{\pi}{2},0 \bigg[ \), definida por \( g(x)=sen(2x)−\cos(x) \)
Seja \( a \) um número real do domínio de \( g \)
A reta tangente ao gráfico da função\( g \) no ponto de abcissa \( a \) é paralela à reta de equação \( y=\dfrac{x}{2}+1 \)
Determine o valor de \( a \), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

M12-EX-2013-F1-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, para um certo número real \( a \) positivo, uma função \( f \), contínua, de domínio \( [-a,a] \)
Sabe-se que \( f(−a)=f(a) \) e \( f(a)>f(0) \)
Mostre que a condição \( f(x)=f(x+a) \) tem, pelo menos, uma solução em \( ]-a,0[ \)