M-A-12-EX-2013-F2

M12-EX-2013-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Na Figura 1, está representado um tabuleiro quadrado dividido em dezasseis quadrados iguais, cujas linhas são \( A, B, C \) e \( D \) e cujas colunas são \( 1, 2, 3 \) e \( 4 \). O João tem doze discos, nove brancos e três pretos, só distinguíveis pela cor, que pretende colocar no tabuleiro, não mais do que um em cada quadrado.
Figura1
De quantas maneiras diferentes pode o João colocar os doze discos nos dezasseis quadrados do tabuleiro?
(A)   \( 16^C_12 \) (B)   \( 16^C_9 \times 7^C_3 \) (C)   \( 16^A_12 \) (D)   \( 16^A_9 \times 7^A_3 \)

M12-EX-2013-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Considere a linha do triângulo de Pascal em que o produto do segundo elemento pelo penúltimo elemento é \( 484 \).
Qual é a probabilidade de escolher, ao acaso, um elemento dessa linha que seja superior a \( 1000 \)?
(A)   \( \dfrac{15}{23} \) (B)   \( \dfrac{6}{11} \) (C)   \( \dfrac{17}{23} \) (D)   \( \dfrac{8}{11} \)

M12-EX-2013-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Sejam \( a \) e \( b \) dois números reais tais que \( 1 < a < b \) e \( log_ab=3 \)
Qual é, para esses valores de \( a \) e de \( b \), o valor de \( log_a(a^5 \times \sqrt[3]{b} ) + a^{log_ab} \)?
(A)   \( 6+b \) (B)   \( 8+b \) (C)   \( 6+a^b \) (D)   \( 8+a^b \)

M12-EX-2013-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Seja \( f \) uma função de domínio \( [−e,1] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( f \) é contínua no seu domínio;
\( \bullet \)\( f(–e)=1 \)
\( \bullet \)\( f(1)=e \)
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A)   A equação \( f(x)−1=0 \) tem pelo menos uma solução em \( ]−e,1[ \)
(B)   A equação \( f(x)=e \) tem pelo menos uma solução em \( ]−e,1[\)
(C)   A equação \( f(x)=0 \) tem pelo menos uma solução em \( ]−e,1[ \)
(D)   A equação \( f(x)=\dfrac{e}{2} \) tem pelo menos uma solução em \( ]−e,1[ \)

M12-EX-2013-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Sejam \( f^\prime \) e \(f^{\prime \prime} \), de domínio \( \mathbb{R} \), a primeira derivada e a segunda derivada de uma função \( f \), respetivamente.
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( a \) é um número real;
\( \bullet \)\( P \) é o ponto do gráfico de \( f \) de abcissa \( a \)
\( \bullet \)—————–limite——————–
\( \bullet \)\(f^{\prime \prime} (a)=-2 \)
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A)   \( a \) é um zero da função \( f \)
(B)   \( f(a) \) é um máximo relativo da função \( f \)
(C)   \( f(a) \) é um mínimo relativo da função \( f \)
(D)   \( P \) é ponto de inflexão do gráfico da função \( f \)

M12-EX-2013-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 2, está representada, num referencial ortogonal \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função polinomial \( g \), de grau \( 3 \)
Figura2
Seja \( f \) uma função, de domínio \( \mathbb{R} \), que verifica a condição \( f(x)=g(x−3) \)
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( f^\prime \), primeira derivada da função \( f \)?
(A)   \( —————–gráficos————– \)

M12-EX-2013-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, \( z=2+bi \), com \( b<0 \)
Seja \( \alpha\in \bigg] 0,\dfrac{\pi}{2} \bigg[ \)
Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de \( z \)?
(A)   \( \dfrac{3}{2}cis(\alpha) \) (B)   \( 3cis(-\alpha) \)
(C)   \( 3cis(\alpha) \) (D)   \( \dfrac{3}{2}cis(-\alpha) \)

M12-EX-2013-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Considere, em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, a condição
\( \dfrac{3}{2} \leq |z-3+i| \leq 3 \wedge \dfrac{\pi}{3} \leq arg(z-3+i) \leq \dfrac[2\pi}{3} \)
Considere como \( arg(z) \) a determinação que pertence ao intervalo \( [−\pi,\pi[ \)
Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos definido pela condição dada?
(A)   \( ————————gráficos—————— \)

M12-EX-2013-F2-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos.
\( \mathrm{1.1} \) Considere \( z_1= \dfrac{1+ \sqrt{3}i}{2} \) e \( z_2= \dfrac{-2}{iz_1} \)
Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural \( n \) tal que \( (z_2)^n \) é um número real negativo.
\( \mathrm{1.2} \) Seja \( \alpha\in[-\pi,\pi[ \)
Mostre que \( \dfrac{cos(\pi- \alpha) + i cos \bigg( \dfrac{\pi}{2} – 2\alpha \bigg) }{ cos\alpha + isen\alpha} = cis(\pi – 2\alpha) \)

M12-EX-2013-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Na Figura 3, está representado um dado cúbico, não equilibrado, com as faces numeradas de \( 1 \) a \( 3 \), em que faces opostas têm o mesmo número.
Figura3
Lança-se o dado uma única vez e observa-se o número da face voltada para cima.
Sejam \( A \) e \( B \) os acontecimentos seguintes.
\( A \): «sair número ímpar»
\( B \): «sair número menor do que \( 3 \)»
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( P( \overline A \cup \overline B )- P(A \cap B) = \dfrac{5}{9} \)
\( \bullet \)\( P(B|A)= \dfrac{2}{7} \)
Determine a probabilidade de sair o número \( 3 \)

M12-EX-2013-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Numa conferência de imprensa, estiveram presentes \( 20 \) jornalistas.
\( \mathrm{3.1} \) Considere a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, um dos \( 20 \) jornalistas presentes nessa conferência de imprensa.
Seja \( X \) a variável aleatória «número de jornalistas do sexo feminino escolhidos».
A tabela de distribuição de probabilidades da variável \( X \) é a seguinte.
———————tabela—————–
Considere agora a experiência aleatória que consiste em escolher, ao acaso, dois dos \( 20 \) jornalistas presentes nessa conferência de imprensa.
Seja \( Y \) a variável aleatória «número de jornalistas do sexo feminino escolhidos».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável \( Y \)
Apresente as probabilidades na forma de fração.
\( \mathrm{3.2} \) Considere o problema seguinte.
«Admita que a conferência de imprensa se realiza numa sala, cujas cadeiras se encontram dispostas em cinco filas, cada uma com oito cadeiras. Todos os jornalistas se sentam, não mais do que um em cada cadeira, nas três primeiras filas.
De quantas maneiras diferentes se podem sentar os 20 jornalistas, sabendo que as duas primeiras filas devem ficar totalmente ocupadas?»
Apresentam-se, em seguida, duas respostas corretas.
Resposta I) \( 20^C_16×16!×8^A_4 \) Resposta II) \(20^A_8×12^A_8×8^A_4 \)
Numa composição, apresente os raciocínios que conduzem a cada uma dessas respostas.

M12-EX-2013-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \),  de domínio  \( \mathbb{R} \),  definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} xe^{3 + x} +2x & \ \text{se } \, x \leq 1 \\ \\ \dfrac{1- \sqrt{x} + sen(x-1)}{1-x} & \ \text{se } \; x > 1 \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{4.1} \) Averigue se a função \( f \) é contínua em \( x = 1 \)
\( \mathrm{4.2} \) Mostre que o gráfico da função \( f \) admite uma assíntota oblíqua quando \( x \) tende para \( −\infty \)

M12-EX-2013-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( g \) uma função, de domínio \( \mathbb{R}^+ \), cuja derivada, \( g^\prime \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), é dada por
\( g^\prime (x)=ln(e^x+6e^{−x}+4x) \)
Estude a função \( g \) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

M12-EX-2013-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), a representação gráfica da função \( f \), de domínio \( [−1,2] \), definida por \( f(x)=−x−3^{1+ln(x^2+1)} \), o ponto \( A \) de coordenadas \( (2,0) \) e um ponto \( P \) que se desloca ao longo do gráfico da função \( f \)
Existe uma posição do ponto \( P \) para a qual a área do triângulo \( [AOP] \) é mínima.
Determine a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
\( \bullet \)indicar o valor da área do triângulo \( [AOP] \) com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2013-F2-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n.\( \mathrm{xOy} \), o triângulo \( [OAB] \) e a reta \( r \)
Figura4
Sabe-se que:
\( \bullet \)a reta \( r \) é definida por \( x=−3 \)
\( \bullet \)o ponto \( A \) pertence à reta \( r \) e tem ordenada positiva;
\( \bullet \)o ponto \( B \) é o simétrico do ponto \( A \) em relação ao eixo \( Ox \)
\( \bullet \)\( \alpha \) é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo \( Ox \) e cujo lado extremidade é a semirreta
\( \bullet \)\( \alpha\in \bigg] \dfrac{\pi}{2},\pi \bigg[ \)
\( \bullet \)a função \( P \), de domínio \( \bigg]\dfrac{\pi}{2},\pi \bigg[ \), é definida por \( P(x)=−6tg{x}−\dfrac{6}{\cos{x}} \)
\( \mathrm{7.1} \) Mostre que o perímetro do triângulo \( [OAB] \) é dado, em função de \( \alpha \), por \( P( \alpha) \)
\( \mathrm{7.2} \) Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função \( P \) no ponto de abcissa \( \dfrac{5\pi}{6} \), sem utilizar a calculadora.