M-A-12-EX-2014-EE

M12-EX-2014-EE-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Considere todos os números ímpares com cinco algarismos.
Quantos desses números têm quatro algarismos pares e são superiores a 20 000?
(A)   \( 5^4 \)
(B)   \( 5^5 \)
(C)   \( 3×5^4 \)
(D)   \( 4×5^4 \)

M12-EX-2014-EE-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Considere a linha do triângulo de Pascal em que a soma dos dois primeiros elementos com os dois últimos elementos é igual a 20
Escolhendo, ao acaso, um elemento dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser par?
(A)   \( \dfrac{1}{5} \)
(B)   \( \dfrac{2}{5} \)
(C)   \( \dfrac{3}{5} \)
(D)   \( \dfrac{4}{5} \)

M12-EX-2014-EE-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \mathbb{R}\{0} \), definida por \( f(x)= \dfrac{x-1}{e^x-1} \)
Considere a sucessão de números reais \( (x_n) \) tal que \( x_n=-\dfrac{1}{n} \)
Qual é o valor de \( limf(x_n) \)
(A)   \( -\infty \)
(B)   \( 0 \)
(C)   \( 1 \)
(D)   \( +\infty \)

M12-EX-2014-EE-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 1, estão representadas, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), a circunferência de centro \( O \) e a reta \( r \)
Figura 1
Sabe-se que:
\( \bullet \)os pontos \( A \) e \( B \) pertencem à circunferência;
\( \bullet \)o ponto \( B \) tem coordenadas \( (0,1) \)
\( \bullet \)a reta \( r \) é tangente à circunferência no ponto \( B \)
\( \bullet \)o ponto \( C \) é o ponto de intersecção da reta \( r \) com a semirreta \( \dot{O}A \)
\( \bullet \)\( \alpha \) é a amplitude, em radianos, do ângulo \( AOB \), com \( \alpha\in \bigg] 0,\dfrac{\pi}{2} \bigg[ \);
Qual das expressões seguintes representa, em função de \( \alpha \), a área da região a sombreado?
(A)   \( \dfrac{ sen\alpha – \alpha}{2} \)
(B)   \( \dfrac{ tg\alpha – \alpha}{2} \)
(C)   \( \dfrac{ tg\alpha }{2} \)
(D)   \( \dfrac{ \alpha }{2} \)

M12-EX-2014-EE-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) uma função de domínio ]-5,5[
Sabe-se que o gráfico da função \( f \) tem exatamente dois pontos de inflexão.
Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função \( f^{\prime \prime} \), segunda derivada da função f?
(A)   \( ————gráficos————– \)

M12-EX-2014-EE-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( f \) uma função de \( \mathbb{R}^+ \)
A reta de equação y=2x−5 é assíntota do gráfico da função \( f \)
Qual é o valor de ————–limite————— ?
(A)   \( 0 \)
(B)   \( 2 \)
(C)   \( 3 \)
(D)   \( -\infty \)

M12-EX-2014-EE-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{Oxyz} \), o ponto \( A \), de coordenadas \( (2,0,3) \), e o plano \( \alpha \), definido por \( x−y−2z=3 \)
Seja \( r \) a reta perpendicular ao plano \( \alpha \) que passa pelo ponto \( A \)
Qual das condições seguintes pode definir a reta \( r \)?
(A)   \( x+2=z+1 \wedge y=0 \)
(B)   \( -x+5=y+3=\dfrac{z+3}{2} \)
(C)   \( \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z+2}{3} \wedge y=-1 \)
(D)   \( x-2=-y=z-3 \)

M12-EX-2014-EE-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 2, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: \( w, z_1, z_2, z_3 e z_4 \)
Figura 2
Qual é o número complexo que pode ser igual \( a-2iw \)?
(A)   \( z_1 \)
(B)   \( z_2 \)
(C)   \( z_3 \)
(D)   \( z_4 \)

M12-EX-2014-EE-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{1.1} \) Considere \( z_1=\dfrac{1-i}{2i}−i^{(−1)} \) e \( z_2=cis \bigg(-\dfrac{\pi}{4} \bigg) \)
Averigue se a imagem geométrica do complexo \( (z_1)^4 \times \overline{z}_2 \) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
\( \mathrm{1.2} \) Considere o número complexo \( w=sen{2\alpha}+2icos^2{\alpha} \), com \( \alpha\in \bigg] 0,\dfrac{\pi}{2} \bigg[ \)
Escreva \( w \) na forma trigonométrica.

M12-EX-2014-EE-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) De uma turma de 12.º ano, sabe-se que:
\( \bullet \)60% dos alunos são rapazes;
\( \bullet \)80% dos alunos estão inscritos no desporto escolar;
\( \bullet \)20% dos rapazes não estão inscritos no desporto escolar.
\( \mathrm{2.1} \) Determine a probabilidade de um aluno dessa turma, escolhido ao acaso, ser rapariga, sabendo que está inscrito no desporto escolar.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
\( \mathrm{2.2} \) Considere agora que essa turma de 12.º ano tem 25 alunos.
Pretende-se escolher, ao acaso, três alunos dessa turma para a representarem num evento do desporto escolar.
Determine a probabilidade de serem escolhidos, pelo menos, dois alunos que estão inscritos no desporto escolar.
Apresente o resultado com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2014-EE-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( \Omega \), conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos \( (A\subset\Omega \) e \( B\subset\Omega) \).
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( A \) e \( \overline{A} \) são acontecimentos equiprováveis;
\( \bullet \)\( A \) e \( B \) são acontecimentos independentes.
Mostre que \( 2P(A\cup B)=1+P(B) \)

M12-EX-2014-EE-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 3, está representada, num referencial o.n.\( \mathrm{Oxyz} \), a pirâmide \( [ABCOD] \)
Figura 3
Sabe-se que:
\( \bullet \)o ponto \( A \) pertence ao semieixo positivo \( Ox \)
\( \bullet \)os pontos \( A \) e \( B \) têm igual abcissa;
\( \bullet \)o ponto \( B \) pertence ao plano \( \mathrm{xOy} \) e tem ordenada -3
\( \bullet \)o ponto \( C \) pertence ao semieixo negativo \( \mathrm{Oy} \)
\( \bullet \)o ponto \( D \) pertence ao semieixo positivo \( \mathrm{Oz} \)
\( \bullet \)a reta \( AD \) é definida por \( \dfrac{x−3}{3}=−\dfrac{z}{5} \wedge y=0 \)
\( \bullet \)\( || \vec{CD} ||^2 = 41 \)
Determine as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém a face \( [BCD] \), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

M12-EX-2014-EE-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere, para um certo número real \( k \), a função \( f \), de domínio \( ]-\infty,e[ \), definida por
\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} x e^{x-2} & \ \text{se } \, x \leq 2 \\ \\ \dfrac{sen(2-x)}{x^2 + x -6} + k & \ \text{se } \; 2 < x < e \end{cases} \end{equation} \)
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{5.1} \) Determine \( k \), de modo que a função \( f \) seja contínua em \( x=2 \)
\( \mathrm{5.2} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntota horizontal do seu gráfico e, caso exista, indique uma equação dessa assíntota.

M12-EX-2014-EE-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Considere a função \( g \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( g(x)= \dfrac{1+lnx}{x^2} \)
\( \mathrm{6.1} \) Estude a função \( g \) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso existam, os valores de \( x \) para os quais a função g tem extremos relativos.
\( \mathrm{6.2} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), a representação gráfica da função \( g \), os pontos \( A \) e \( B \), e a reta \( r \) de equação \( y=mx \), com \( m<0 \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)os pontos \( A \) e \( B \) pertencem ao gráfico da função \( g \)
\( \bullet \)a abcissa do ponto \( A \) é o zero da função \( g \)
\( \bullet \)o ponto \( B \) é o ponto de intersecção da reta \( r \) com o gráfico da função \( g \)
\( \bullet \)a área do triângulo \( [OAB] \) é igual a \( 1 \)
Determine a abcissa do ponto \( B \), recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
– equacionar o problema;
– reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados, devidamente identificados;
– indicar a abcissa do ponto \( A \) e a abcissa do ponto \( B \) com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2014-EE-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Considere uma função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)a reta de equação \( x=0 \) é assíntota do gráfico da função \( f \)
\( \bullet \)\( f(-3) \times f(5)<0 \)
\( \bullet \)—————-limite————– existe e é positivo, para qualquer número real \( x \) não nulo;
\( \bullet \)—————-limite—————–
Considere as afirmações seguintes.
I) O teorema de Bolzano permite garantir, no intervalo \( [-3,5] \), a existência de, pelo menos, um zero da função \( f \)
II) O gráfico da função \( f \) admite uma assíntota horizontal quando \( x \) tende para \( -\infty \)
\( \bullet \)III) A função \( f \) é crescente em \( ]0,+\infty[ \)
Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa.
Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação.