M-A-12-EX-2014-F1

M12-EX-2014-F1-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \Omega \), conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos ( \(A\subset\Omega \) e \( B\subset\Omega \) ).
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( P(A)=0,4 \)
\( \bullet \)\( P(A \cap B)=0,2 \)
\( \bullet \)\( P(B| \overline{A})=0,8 \)
(A)   \( 0,28 \)
(B)   \( 0,52 \)
(C)   \( 0,68 \)
(D)   \( 0,80 \)

M12-EX-2014-F1-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Considere todos os números naturais de dez algarismos que se podem escrever com os algarismos de 1 a 9
Quantos desses números têm exatamente seis algarismos \( 2 \)?
(A)   \( ^{10}C_6×8^4 \)
(B)   \( ^{10}C_6×^8A_4 \)
(C)   \( ^{10}A_6×^8A_4 \)
(D)   \( ^{10}A_6×8^4 \)

M12-EX-2014-F1-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( f(x)=e^\dfrac{1}{x}−3 \)
Considere a sucessão de números reais \( (x_n) \) tal que \( x_n=\dfrac{1}{\sqrt(n)} \)
Qual é o valor de ————limite—————– ?
(A)   \( -\infty \)
(B)   \( -e \)
(C)   \( 0 \)
(D)   \( +\infty \)

M12-EX-2014-F1-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Considere, para um certo número real \( k \), a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por \( f(x)=ke^x+x \)
O teorema de Bolzano garante que a função \( f \) tem, pelo menos, um zero no intervalo \( ]0,1[ \)
A qual dos intervalos seguintes pode pertencer \( k \)?
(A)   \( \bigg] -e,-\dfrac{1}{e} \bigg[ \)
(B)   \( \bigg] -\dfrac{1}{e},0 \bigg[ \)
(C)   \( \bigg] 0,\dfrac{1}{e} \bigg[ \)
(D)   \( \bigg] \dfrac{1}{e},1 \bigg[ \)

M12-EX-2014-F1-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Considere, para um certo número real \( a \) positivo, a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por
\( f(x)=a+ln\bigg(\dfrac{a}{x} \bigg) \)
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( f^\prime \), primeira derivada da função \( f \)?
(A)   \( \) (B)   \( zz \)

M12-EX-2014-F1-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Considere, num referencial o.n.\( \mathrm{Oxyz} \), o plano \( \alpha \), definido por \( 4x−z+1=0 \)
Seja \( r \) uma reta perpendicular ao plano \( \alpha \)
Qual das condições seguintes pode definir a reta \( r \)?
(A)   \( \dfrac{x}{4}=y \wedge z=-1 \)
(B)   \( x=4 \wedge z=-1 \)
(C)   \( x-3=\dfrac{z}{4} \wedge y=0 \)
(D)   \( \dfrac{x-3}{4}=-z \wedge y=1 \)

M12-EX-2014-F1-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), uma circunferência de centro \( O \) e raio \( 1 \)
Figura 1
Sabe-se que:
\( \bullet \)os pontos \( A \) e \( B \) pertencem à circunferência;
\( \bullet \)o ponto \( A \) tem coordenadas \( (1,0) \)
\( \bullet \)os pontos \( B \) e \( C \) têm a mesma abcissa;
\( \bullet \)o ponto \( C \) tem ordenada zero;
\( \bullet \)o ponto \( D \) tem coordenadas (-3,0)
\( \bullet \)\( \alpha \) é a amplitude, em radianos, do ângulo \( AOB \), com \( \alpha \in \bigg] \dfrac{\pi}{2},\pi \bigg[ \)
Qual das expressões seguintes representa, em função de \( \alpha \), a área do triângulo \( [BCD] \)?
(A)   \( \dfrac{1}{2}(-3-sen{\alpha})\cos{\alpha} \)
(B)   \( \dfrac{1}{2}(-3+sen{\alpha})\cos{\alpha} \)
(C)   \( \dfrac{1}{2}(3+\cos{\alpha})sen{\alpha} \)
(D)   \( \dfrac{1}{2}(3-\cos{\alpha})sen{\alpha} \)

M12-EX-2014-F1-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 2, está representado, no plano complexo, um polígono regular \( [ABCDEF] \)
Figura 2
Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das \( n \) raízes de índice \( n \) de um número complexo \( z \)
O vértice \( C \) tem coordenadas \( (-2\sqrt{2},2\sqrt{2}) \)
Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice \( E \)?
(A)   \( 2\sqrt{2}cis{\dfrac{13}{12}\pi} \)
(B)   \( 4cis{\dfrac{13}{12}\pi} \)
(C)   \( 2\sqrt{2}cis{\dfrac{17}{12}\pi} \)
(D)   \( 4cis{\dfrac{17}{12}\pi} \)

M12-EX-2014-F1-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos.
\( \mathrm{1.1} \) Considere \( z_1 = \dfrac{(-1+ \sqrt3 i)^3}{1-i} \) e \( z_2=cis{\alpha} \), com \( \alpha\in[0,\pi[ \)
Determine os valores de \( \alpha \) de modo que \( z_1 × (z_2)^2 \) seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{1.2} \) Seja \( z \) um número complexo tal que \( |1+z|^2+|1−z|^2 \leq10 \)
Mostre que \( |z|\leq2 \)

M12-EX-2014-F1-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Uma caixa tem nove bolas distinguíveis apenas pela cor: seis pretas, duas brancas e uma amarela.
\( \mathrm{2.1} \) Considere a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, três bolas.
Determine a probabilidade de as bolas retiradas não terem todas a mesma cor.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
\( \mathrm{2.2} \) Considere a caixa com a sua composição inicial.
Considere agora a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa uma bola de cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirada uma bola preta.
Seja \( X \) a variável aleatória «número de bolas retiradas dessa caixa».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável \( X \)
Apresente as probabilidades na forma de fração.

M12-EX-2014-F1-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Na Figura 3, está representada uma planificação de um dado tetraédrico equilibrado, com as faces numeradas com os números -1, 1, 2 e 3
Figura 3
Considere a experiência aleatória que consiste em lançar esse dado duas vezes consecutivas e registar, após cada lançamento, o número inscrito na face voltada para baixo.
Sejam \( A \) e \( B \) os acontecimentos seguintes.
\( A \): «o número registado no primeiro lançamento é negativo»
\( B \): «o produto dos números registados nos dois lançamentos é positivo»
Elabore uma composição, na qual indique o valor de \( P(A|B) \), sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.
Na sua resposta, explique o significado de \( P(A|B) \) no contexto da situação descrita, explique o número de casos possíveis, explique o número de casos favoráveis e apresente o valor de \( P(A|B) \)

M12-EX-2014-F1-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 4, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{Oxyz} \), o cubo \( [OABCDEFG] \), de aresta 3
Figura 4
Sabe-se que:
\( \bullet \)o ponto \( A \) pertence ao semieixo positivo \( Ox \)
\( \bullet \)o ponto \( C \) pertence ao semieixo negativo \( Oy \)
\( \bullet \)o ponto \( D \) pertence ao semieixo positivo \( Oz \)
\( \bullet \)o ponto \( H \) tem coordenadas \( (3,-2,3) \)
Seja \( \alpha \) a amplitude, em radianos, do ângulo \( AHC \)
Determine o valor exato de \( sen^2{\alpha} \), sem utilizar a calculadora.

M12-EX-2014-F1-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Considere a função \( f \),  de domínio \( \mathbb{R} \), definida por
—————–função——————–
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{5.1} \) Averigue se a função \( f \) é contínua em \( x=4 \)
\( \mathrm{5.2} \) O gráfico da função \( f \) tem uma assíntota oblíqua quando \( x \) tende para \( +\infty \), de equação \( y=x+b \), com \( b\in\mathbb{R} \)
Determine \( b \)

M12-EX-2014-F1-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( f \) uma função cuja derivada \( f^\prime \), de domínio \( \mathbb{R} \), é dada por \( f^\prime(x)=x-sen{2x} \)
\( \mathrm{6.1} \) Determine o valor de ———–limite—————-
\( \mathrm{6.2} \) Estude o gráfico da função \( f \), quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de inflexão em \( \bigg] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4} \bigg[ \), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função \( f \) tem concavidade voltada para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função \( f \) tem concavidade voltada para baixo e, caso existam, as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico da função \( f \)

M12-EX-2014-F1-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( ]−e^2,+\infty[ \), definida por \( f(x)=−ln(x+e^2) \)
Na Figura 5, estão representados, num referencial o. n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função \( f \) e o triângulo \( [ABC] \)
Figura 5
Sabe-se que:
\( \bullet \)o ponto \( A \) tem coordenadas \( (0,-2) \)
\( \bullet \)o ponto \( B \) pertence ao gráfico da função \( f \) e tem abcissa negativa;
\( \bullet \)o ponto \( C \) pertence ao eixo \( Oy \) e tem ordenada igual à do ponto \( B \)
\( \bullet \)a área do triângulo \( [ABC] \) é igual a \( 8 \)
Determine a abcissa do ponto \( B \), recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
– escrever uma expressão da área do triângulo \( [ABC] \) em função da abcissa do ponto \( B \)
– equacionar o problema;
– reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados, devidamente identificados;
– indicar a abcissa do ponto \( B \) com arredondamento às centésimas.