M-A-12-EX-2014-F2

M12-EX-2014-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \Omega \), conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos \( (A\subset\Omega \) e \( B\subset\Omega) \).
Sabe-se que:
\( \bullet \) \( A \) e \( B \) são acontecimentos independentes;
\( \bullet \)\( P(A)=0,4 \)
\( \bullet \)\( P( \overline{A} \cap \overline{B} ) = 0,48 \)
Qual é o valor de \( P(B) \)?
(A)   \( 0,08 \) (B)   \( 0,12 \) (C)   \( 0,2 \) (D)   \( 0,6 \)

M12-EX-2014-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Na Figura 1, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{Oxyz} \), um octaedro \( [ABCDEF] \), cujos vértices pertencem aos eixos coordenados.
Escolhem-se, ao acaso, três vértices desse octaedro.
Qual é a probabilidade de esses três vértices definirem um plano paralelo ao plano de equação \( z=5 \)?
(A)   \( \dfrac{1}{^6C_3} \)
(B)   \( \dfrac{4}{^6C_3} \)
(C)   \( \dfrac{8}{^6C_3} \)
(D)   \( \dfrac{12}{^6C_3} \)
Figura 1

M12-EX-2014-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Um dos termos do desenvolvimento de \( \bigg(\dfrac{2}{x}+x \bigg) \), com \( x \neq 0 \) , não depende da variável \( x \)
Qual é esse termo?
(A)   \( 10240 \)
(B)   \( 8064 \)
(C)   \( 1024 \)
(D)   \( 252 \)

M12-EX-2014-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Seja \( g \) uma função, de domínio \( ]-\infty,e[ \), definida por \( g(x)=ln(e-x) \)
Considere a sucessão estritamente crescente de termo geral \( x_n= \bigg( 1+\dfrac{1}{n} \bigg)^n \)
Qual é o valor de \( lim g(x_n) \)?
(A)   \( +\infty \)
(B)   \( e \)
(C)   \( 1 \)
(D)   \( -\infty \)

M12-EX-2014-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Considere, para um certo número real \( k \), a função \( f \), contínua em \( \bigg[ \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \bigg] \), definida por
————função————-
Qual é o valor de \( k \)?
(A)   \( 0 \)
(B)   \( 1 \)
(C)   \( 2 \)
(D)   \( 4 \)

M12-EX-2014-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 2, está representada, num referencial ortogonal \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função \( g^{\prime \prime} \) , segunda derivada de uma função \( g \)
Figura 2
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( g \)?
(A)   \( —————-gráficos—————– \)

M12-EX-2014-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, num referencial o.n.\( \mathrm{Oxyz} \), o ponto \( A \), de coordenadas \( (1, 0, 3) \), e o plano \( \alpha \) , definido por \( 3x+2y−4=0 \)
Seja \( \beta \) um plano perpendicular ao plano \( \alpha \) e que passa pelo ponto \( A \)
Qual das condições seguintes pode definir o plano \( \beta \)?
(A)   \( 3x+2y−3=0 \)
(B)   \( 2x−3y−z+1=0 \)
(C)   \( 2x−3y+z=0 \)
(D)   \( 3x+2y=0 \)

M12-EX-2014-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Na Figura 3, estão representadas, no plano complexo, duas semirretas \( \dot{O} A \) e \( \dot{O} B \) e uma circunferência de centro \( C \) e raio \( \overline{BC} \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)\( O \) é a origem do referencial;
\( \bullet \)o ponto \( A \) é a imagem geométrica do complexo \( \dfrac{2\sqrt3}{3}+2i \)
\( \bullet \)o ponto \( B \) é a imagem geométrica do complexo \( -\dfrac{2\sqrt3}{3}+2i \)
\( \bullet \)o ponto \( C \) é a imagem geométrica do complexo \( 2i \)
Figura 3
Considere como \( arg(z) \) a determinação que pertence ao intervalo \( [-\pi, \pi[ \)
Qual das condições seguintes define a região sombreada, excluindo a fronteira?
(A)   \( |z-2i| < \dfrac{2 \sqrt3}{3} \wedge \dfrac{\pi}{4} < arg(z) < \dfrac{3\pi}{4} \)
(B)   \( |z-2i| < \dfrac{2 \sqrt3}{3} \wedge \dfrac{\pi}{3} < arg(z) < \dfrac{2\pi}{3} \)
(C)   \( |z-2i| > \dfrac{2 \sqrt3}{3} \wedge \dfrac{\pi}{3} < arg(z) < \dfrac{2\pi}{3} \)
(D)   \( |z-2i| > \dfrac{2 \sqrt3}{3} \wedge \dfrac{\pi}{4} < arg(z) < \dfrac{3\pi}{4} \)

M12-EX-2014-F2-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos.
\( \mathrm{1.1} \) Considere \( z=2cis \bigg( \dfrac{\pi}{6} \bigg) \) e \( w= \dfrac{(z-i)^4}{1+zi} \)
No plano complexo, seja \( O \) a origem do referencial.
Seja \( A \) a imagem geométrica do número complexo \( \overline {z} \) e seja \( B \) a imagem geométrica do número complexo \( \omega \)
Determine a área do triângulo \( [AOB] \), sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{1.2.} \) Seja \( \alpha \in ]0,\pi[ \)
Resolva, em \( \mathbb{C} \), a equação \( z^2−2cos \alpha z+1=0 \)
Apresente as soluções, em função de \( \alpha \) , na forma trigonométrica.

M12-EX-2014-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Uma caixa tem seis bolas distinguíveis apenas pela cor: duas azuis e quatro pretas.
\( \mathrm{2.1} \) Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, uma a uma, sucessivamente e sem reposição, todas as bolas da caixa. À medida que são retiradas da caixa, as bolas são colocadas lado a lado, da esquerda para a direita.
Determine a probabilidade de as duas bolas azuis ficarem uma ao lado da outra.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
\( \mathrm{2.2} \) Considere a caixa com a sua composição inicial.
Considere agora a experiência aleatória que consiste em retirar dessa caixa, simultaneamente e ao acaso, três bolas.
Seja \( X \) a variável aleatória «número de bolas azuis que existem no conjunto das três bolas retiradas».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável \( X \)
Apresente as probabilidades na forma de fração.

M12-EX-2014-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Na Figura 4, está representado um pentágono regular \( [ABCDE] \)
Sabe-se que \( \overline {AB} =1 \)
Mostre que \( \dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} } { ———–duplo modulo———— \overrightarrow{AD}}=1-2sen^2\bigg( \dfrac{\pi}{5} \bigg) \)
Nota:\( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} \) designa o produto escalar do vetor \( \overrightarrow{AB} \) pelo vetor \( \overrightarrow{AD} \)
Figura 4

M12-EX-2014-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Considere as funções \( f \) e \( g \), de domínio \( ]-\infty, 0[ \), definidas por
\( f(x)=x-1+\dfrac{ln(-x)}{x} \) e \( g(x)=-x+f(x) \)
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{4.1} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntotas do seu gráfico e, caso existam, indique as suas equações.
\( \mathrm{4.2} \) Mostre que a condição \( f(x)= -e \) tem, pelo menos, uma solução em \( ]-e,-1[ \)
\( \mathrm{4.3} \) Estude a função \( g \) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) de monotonia e, caso existam, os valores de \( x \) os quais a função \( g \) tem extremos relativos.

M12-EX-2014-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Na Figura 5, estão representados uma circunferência de centro \( O \) e raio 2 e os pontos P,Q,R e S
Sabe-se que:
\( \bullet \)os pontos \( P, Q, R \) e \( S \) pertencem à circunferência;
\( \bullet \)\( [PR] \) é um diâmetro da circunferência;
\( \bullet \)\( \overline{PQ}=\overline{PS} \)
\( \bullet \)\( \alpha \) é a amplitude, em radianos, do ângulo \( QPR \)
\( \bullet \)\( \alpha \in \bigg] 0,\dfrac{\pi}{2} \bigg[ \)
\( \bullet \)\( A(\alpha) \) é a área do quadrilátero \( [PQRS] \), em função de \( \alpha \)
Figura 5
Para um certo número real \( \theta \), com \( \theta \in \bigg] 0,\dfrac{\pi}{2} \bigg[ \), tem-se que \( tg\theta=2 \sqrt2 \)
Determine o valor exato de \( A(\theta) \), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Comece por mostrar que \( A(\alpha)=16sen\alpha cos\alpha \)

M12-EX-2014-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), a representação gráfica da função \( f \) , de domínio \( [0,10] \), definida por \( f(x)=-e^ {\dfrac{x}{2} }+x^2+8 \), e dois pontos \( A \) e \( B \)
Sabe-se que:
\( \bullet \)o ponto \( A \) é o ponto de intersecção do gráfico da função \( f \) com o eixo das ordenadas;
\( \bullet \)o ponto \( B \) pertence ao gráfico da função \( f \) e tem abcissa positiva;
\( \bullet \)a reta \( AB \) tem declive \( – 2 \)
Determine a abcissa do ponto \( B \), recorrendo à calculadora gráfica.
Na sua resposta, deve:
– equacionar o problema;
– reproduzir, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificados;
– indicar o valor da abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas.

M12-EX-2014-F2-V1-GII-7

\( \mathrm{7.} \) Na Figura 6, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função polinomial \( f \), de grau 3
Sabe-se que:
\( \bullet \) \( -2 \) e \( 3 \) são os únicos zeros da função \( f \)
\( \bullet \) a função \( f \) tem um extremo relativo em \( x=−2 \)
\( \bullet \) \( h^\prime(x) \), primeira derivada de uma função \( h \), tem domínio \( \mathbb{R} \) e é definida por \( h^\prime = \dfrac{f(x)} {e^2x} \)
\( \bullet \)—————-limite——————
Figura 6
Considere as afirmações seguintes.
I) A função \( h \) tem dois extremos relativos.
II) \( h^{\prime \prime}(-2)=0 \)
III)\( y+3=0 \) é uma equação da assíntota do gráfico da função \( h \) quando \( x \) tende para \( +\infty \)
Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa.
Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação.