M-A-12-EX-2015-EE

M12-EX-2015-EE-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \Omega \) , conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos ( \(A \subset \Omega \) e \( B \subset \Omega \) ).
Sabe-se que:
\( \bullet \) \( P ( A \cup B ) = 0,7 \)
\( \bullet \) \( P ( B) = 0,4 \)
\( \bullet \) \( P ( A \cap B ) = 0,2 \)
Qual é o valor de \( P ( B|A ) \)?
(A)   \( 0,25 \) (B)   \( 0,3 \) (C)   \( 0,35 \) (D)   \( 0,4 \)

M12-EX-2015-EE-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Nove jovens, três rapazes e seis raparigas, vão dispor-se, lado a lado, para uma fotografia.
De quantas maneiras o podem fazer, de modo que os rapazes fiquem juntos?
(A)   \( 40140 \) (B)   \( 30240 \) (C)   \( 20340 \) (D)   \( 10440 \)

M12-EX-2015-EE-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( a \) um número real.
Seja a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( f(x)=e^{alnx} \)
Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o ponto \(P (2,8) \)
Sabe-se que o ponto \( P \) pertence ao gráfico de \( f \)
Qual é o valor de \( a \)?
(A)   \( 1 \) (B)   \( 2 \) (C)   \( 3 \) (D)   \( 4 \)

M12-EX-2015-EE-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função polinomial \( f \)
Figura 1
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função \( f^{\prime \prime} \), segunda derivada da função \( f \)?
(A)   \( figura \) (B)   \( figura \)
(C)   \( figura \) (D)   \( figura \)

M12-EX-2015-EE-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) uma função de domínio \( \mathbb{R} \)
Sabe-se que \( f^\prime (2)=6 \) (\( f^\prime \) designa a derivada de \( f \) )
Qual é o valor de ————-limite ——————– ?
(A)   \( 3 \) (B)   \( 4 \) (C)   \( 5 \) (D)   \( 6 \)

M12-EX-2015-EE-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Na Figura 2, está representado, no plano complexo, um quadrado cujo centro coincide com a origem e em que cada lado é paralelo a um eixo.
Os vértices deste quadrado são as imagens geométricas dos complexos \( \mathrm{z_1} \), \( \mathrm{z_2} \), \( \mathrm{z_3} \) e \( \mathrm{z_4} \)
Qual das afirmações seguintes é falsa?
(A)   \( |z_3 – z_1| = |z_4 – z_2| \)
(B)   \( z_1 + z_4 = 2 Re(z_1) \)
(C)   \( \dfrac{z_4}{i}=z_1 \)
(D)   \( -\overline z_1 = z_2 \)
Figura 2

M12-EX-2015-EE-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Os segmentos de reta \( [AB] \) e \( [BC] \) são lados consecutivos de um hexágono regular de perímetro \( 12 \)
Qual é o valor do produto escalar \( \overrightarrow{BA} \times \overrightarrow{BC} \)
(A)   \( -3 \)
(B)   \( -2 \)
(C)   \( 2 \)
(D)   \( 3 \)

M12-EX-2015-EE-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) De uma progressão geométrica \( (a_n) \), sabe-se que o terceiro termo é igual a \( \dfrac{1}{4} \) e que o sexto termo é igual a \( 2 \)
Qual é o valor do vigésimo termo?
(A)   \( 8192 \) (B)   \( 16384 \)
(C)   \( 32768 \) (D)   \( 65536 \)

M12-EX-2015-EE-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, seja \( z_1 = (1 + i)^6 \) e \( z_2 = \dfrac{8i}{cis \bigg( -\dfrac{6\pi}{5} \bigg) } \)
Sabe-se que as imagens geométricas dos complexos \( \mathrm{z_1} \) e \( \mathrm{z_2} \) são vértices consecutivos de um polígono regular de \( n \) lados, com centro na origem do referencial.
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de \( n \)

M12-EX-2015-EE-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o plano \( \beta \) definido pela condição \( 2x−y+z−4=0\)
\( \mathrm{2.1.} \) Considere o ponto \( P(-2,1,3a) \), sendo \( a \) um certo número real.
Sabe-se que a reta \( OP \) é perpendicular ao plano \( \beta \), sendo \( O \) a origem do referencial.
Determine o valor de \( a \)
\( \mathrm{2.2.} \) Considere o ponto \( A(1,2,3) \)
Seja \( B \) o ponto de intersecção do plano \( \beta \) com o eixo \( \mathrm{Ox} \)
Seja \( C \) o simétrico do ponto \( B \) relativamente ao plano \( \mathrm{yOz} \)
Determine a amplitude do ângulo \( BAC \)
Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
\( \mathrm{2.3.} \) Determine uma equação da superfície esférica de centro na origem do referencial, que é tangente ao plano \( \beta \)
Na resolução deste item, tenha em conta que o raio relativo ao ponto de tangência é perpendicular ao plano \( \beta \)

M12-EX-2015-EE-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Um saco contém nove bolas numeradas de \( 1 \) a \( 9 \), indistinguíveis ao tato.
\( \mathrm{3.1} \) Retiram-se, sucessivamente e ao acaso, três bolas do saco. As bolas são retiradas com reposição, isto é, repõe-se a primeira bola antes de se retirar a segunda e repõe-se a segunda bola antes de se retirar a terceira.
Qual é a probabilidade de o produto dos números das três bolas retiradas ser igual a \( 2 \)?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
\( \mathrm{3.2} \) Considere agora a seguinte experiência aleatória: retiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolas do saco, adicionam-se os respetivos números e colocam-se novamente as bolas no saco.
Considere que esta experiência é repetida dez vezes.
Seja \( X \) o número de vezes em que a soma obtida é igual a \( 7 \)
A variável aleatória \( X \) tem distribuição binomial, pelo que
\( P(X=n)= ^{10}C_n \bigg( \dfrac{1}{12} \bigg)^n \bigg( \dfrac{11}{12} \bigg)^{10-n} \)
Elabore uma composição em que explique:
\( \bullet \) como se obtém o valor \( \dfrac{1}{12} \) (probabilidade de sucesso);
\( \bullet \) o significado de \( \dfrac{11}{12} \), no contexto da situação descrita;
\( \bullet \) o significado da expressão \( ^{10}C_n \) , tendo em conta a sequência das dez repetições da experiência.

M12-EX-2015-EE-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Admita que, ao longo dos séculos XIX, XX e XXI, o número de habitantes, \( N \), em milhões, de uma certa região do globo é dado aproximadamente por
\( N= \dfrac{200}{1 + 50e^{-0,25t} } \) ( \( t \geq 0 \) )
em que \( t \) é o tempo medido em décadas e em que o instante \( t=0 \) corresponde ao final do ano \( 1800 \).
\( \mathrm{4.1} \) Determine a taxa média de variação da função \( N \) no intervalo \( [10,20] \)
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Interprete o resultado, no contexto da situação descrita.
\( \mathrm{4.2} \) Mostre que \( t= ln \bigg( \dfrac{50N}{200-N} \bigg)^4 \)

M12-EX-2015-EE-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \mathbb{R}_0^+ \), definida por \( f(x)=x^2e^{1−x} \)
Resolva os itens 5.1. e 5.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{5.1} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntota horizontal.
\( \mathrm{5.2} \) Estude a função \( f \) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
\( \mathrm{5.3} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{Ox} \), três pontos, \( A \), \( B \) e \( C \), tais que:
\( \bullet \)os pontos \( A \) e \( B \) pertencem ao gráfico da função \( f \)
\( \bullet \)a abcissa do ponto \( B \) é maior do que a abcissa do ponto \( A \)
\( \bullet \)os pontos \( A \) e \( B \) têm a mesma ordenada, a qual é igual a \( 1,2 \)
\( \bullet \)o ponto \( C \) pertence ao eixo \( \mathrm{Ox} \) e tem abcissa igual à do ponto \( B \)
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a área do quadrilátero [OABC], sendo \( O \) a origem do referencial.
Na sua resposta:
– reproduza, num referencial, o gráfico da função \( f \) no intervalo \( [0,5] \)
– apresente o desenho do quadrilátero \( [OABC] \)
– indique as abcissas dos pontos \( A \) e \( B \) arredondadas às milésimas;
– apresente a área do quadrilátero arredondada às centésimas.

M12-EX-2015-EE-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( a \) um número real.
Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por \( f (x)=a \sin x \)
Seja \( r \) a reta tangente ao gráfico de \( f \) no ponto de abcissa \( \dfrac{2\pi}{3} \)
Sabe-se que a inclinação da reta \( r \) é igual a \( \dfrac{\pi}{6} \) radianos.
Determine o valor de \( a \)