M-A-12-EX-2016-F2

M12-EX-2016-F2-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Seja \( \Omega \), conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos ( \( A \subset \Omega \) e \( B \subset \Omega \) ).
Sabe-se que:
\( \bullet \) \( P(A)=0,2 \)
\( \bullet \) \( P(B)=0,3 \)
\( \bullet \) \( P( \overline A \cap \overline B)=0,6 \)
Qual é o valor de \( P(A|B) \)?
(A)   \( \dfrac{1}{3} \) (B)   \( \dfrac{1}{2} \) (C)   \( \dfrac{2}{3} \) (D)   \( \dfrac{5}{6} \)

M12-EX-2016-F2-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) O Carlos joga basquetebol na equipa da sua escola.
Admita que, em cada lance livre, a probabilidade de o Carlos encestar é \( 0,4 \)
Num treino, o Carlos vai executar uma série de cinco lances livres.
Qual é a probabilidade de o Carlos encestar exatamente quatro vezes?
(A)   \( 0,01536 \) (B)   \( 0,05184 \) (C)   \( 0,0768 \) (D)   \( 0,2592 \)

M12-EX-2016-F2-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Para certos valores de \( a \) e de \( b \) ( \( a>1 \) e \( b>1 \) ), tem-se \( log_a(ab^3) = 5 \)
Qual é, para esses valores de \( a \) e de \( b \), o valor de \( log_b a \)?
(A)   \( \dfrac{5}{3} \) (B)   \( \dfrac{3}{4} \) (C)   \( \dfrac{3}{5} \) (D)   \( \dfrac{1}{3} \)

M12-EX-2016-F2-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( f(x) = ln x \)
Considere a sucessão de termo geral \( u_n = \dfrac{n}{e^n} \)
Qual é o valor de \( lim f(u_n) \)?
(A)   \( -\infty \) (B)   \( 0 \) (C)   \( e \) (D)   \( +\infty \)

M12-EX-2016-F2-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Na Figura 1, está representada uma circunferência de centro no ponto \( O \) e raio \( 1 \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) os diâmetros \( [AC] \) e \( [BD] \) são perpendiculares;
\( \bullet \) o ponto \( P \) pertence ao arco \( AB \)
\( \bullet \) \( [PQ] \) é um diâmetro da circunferência;
\( \bullet \) o ponto \( R \) pertence a \( [OD] \) e é tal que \( [QR] \) é paralelo a \( [AC] \)
Seja \( \alpha \) a amplitude, em radianos, do ângulo \( AOP \)
\( \bigg( \alpha \in \bigg]0, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \bigg) \)
Qual das seguintes expressões dá a área do triângulo \( [PQR] \), representado a sombreado, em função de \( \alpha \)?
(A)   \( \dfrac{ \cos(2 \alpha)}{4} \) (B)   \( \dfrac{ \sin(2 \alpha)}{4} \) (C)   \( \dfrac{ \cos(2 \alpha)}{2} \) (D)   \( \dfrac{ \sin(2 \alpha)}{2} \)
Figura 1

M12-EX-2016-F2-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, seja \( z = 3 + 4i \)
Sabe-se que \( z \) é uma das raízes de índice \( 6 \) de um certo número complexo \( \Omega \)
Considere, no plano complexo, o polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice \( 6 \) desse número complexo \( \Omega \)
Qual é o perímetro do polígono?
(A)   \( 42 \) (B)   \( 36 \) (C)   \( 30 \) (D)   \( 24 \)

M12-EX-2016-F2-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o quadrado definido pela condição
\( 0 \leq x \leq 4 \wedge 1 \leq y \leq 5 \)
Qual das condições seguintes define a circunferência inscrita neste quadrado?
(A)   \( (x-4)^2 + (y-5)^2 = 16 \)
(B)   \( (x-4)^2 + (y-5)^2 = 4 \)
(C)   \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4 \)
(D)   \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 16 \)

M12-EX-2016-F2-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) De uma progressão geométrica \( (u_n) \), monótona crescente, sabe-se que \( u_4=32 \) e que \( u_8=8192 \)
Qual é o quinto termo da sucessão \( (u_n) \)?
(A)   \( 64 \) (B)   \( 128 \) (C)   \( 256 \) (D)   \( 512 \)

M12-EX-2016-F2-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Considere nove fichas, indistinguíveis ao tato, numeradas de \( 1 \) a \( 9 \)
\( \mathrm{1.1.} \) Considere duas caixas, \( U \) e \( V \)
Colocam-se as fichas numeradas de \( 1 \) a \( 5 \) na caixa \( U \) e as fichas numeradas de \( 6 \) a \( 9 \) na caixa \( V \)
Realiza-se a seguinte experiência.
Retira-se, ao acaso, uma ficha da caixa \( U \) e retira-se, também ao acaso, uma ficha da caixa \( V \)
Sejam \( A \) e \( B \) os acontecimentos:
\( A \): «A soma dos números das fichas retiradas é igual a \( 10 \)»
\( B \): «O produto dos números das fichas retiradas é ímpar»
Determine o valor de \( P(B|A) \), sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada.
Na sua resposta:
– explique o significado de \( P(B|A) \) no contexto da situação descrita;
– indique os casos possíveis, apresentando cada um deles na forma ( \(u\), \(v\) ), em que \( u \) designa o número da ficha retirada da caixa \( U \) e \( v \) designa o número da ficha retirada da caixa \( V \)
– indique os casos favoráveis;
– apresente o valor pedido na forma de fração irredutível.
\( \mathrm{1.2.} \) Na Figura 2, está representado um tabuleiro com \( 16 \) casas, dispostas em quatro filas horizontais ( \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) ) e em quatro filas verticais (\( 1,2,3 \) e \( 4 \))
Pretende-se dispor as nove fichas (numeradas de 1 a 9) no tabuleiro, de modo que cada ficha ocupe uma única casa e que cada casa não seja ocupada por mais do que uma ficha.
De quantas maneiras diferentes é possível dispor as nove fichas, de tal forma que as que têm número par ocupem uma única fila horizontal?
Figura 2

M12-EX-2016-F2-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Seja \( \rho \) um número real positivo, e seja \( \theta \) um número real pertencente ao intervalo \( ]0, \pi [ \)
Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere \( z=\dfrac{−1+i}{ ( \rho \cis{ \theta} )^2 \) e \( \omega = −\sqrt2 i \)
Sabe-se que \( z \) = \( w \)
Determine o valor de \( \rho \) e o valor de \( \theta \)

M12-EX-2016-F2-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o plano \( \alpha \) a definido pela equação \( 3x + 2y + 4z − 12 = 0 \)
\( \mathrm{3.1.} \) Seja \( C \) o ponto de coordenadas \( (2,1,4) \)
Escreva uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano \( \alpha \) que passa no ponto \( C \)
\( \mathrm{3.2.} \) Seja \( D \) o ponto de coordenadas \( (4,2,2) \)
Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta \( OD \) com o plano \( \alpha \)
\( \mathrm{3.3.} \) Sejam \( A \) e \( B \) os pontos pertencentes ao plano \( \alpha \), tais que \( A \) pertence ao semieixo positivo \( \mathrm{Ox} \) e \( B \) pertence ao semieixo positivo \( \mathrm{Oy} \)
Seja \( P \) um ponto com cota diferente de zero e que pertence ao eixo \( \mathrm{Oz} \)
Justifique, recorrendo ao produto escalar de vetores, que o ângulo \( APB \) é agudo.

M12-EX-2016-F2-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \bigg]-\dfrac{\pi}{2}, +\infty \bigg[ \), definida por
————————-função—————————–
Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{4.1.} \) Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntota oblíqua do seu gráfico.
\( \mathrm{4.2.} \) Estude a função \( f \) quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, no intervalo \( \bigg]-\dfrac{\pi}{2}, 0 \bigg[ \)
\( \mathrm{4.3.} \) Seja \( r \) a reta tangente ao gráfico da função \( f \) no ponto de abcissa \( \dfrac{1}{2} \)
Além do ponto de tangência, a reta \( r \) intersecta o gráfico de \( f \) em mais dois pontos, \( A \) e \( B \), cujas abcissas pertencem ao intervalo \( \bigg]-\dfrac{\pi}{2}, 0 \bigg[ \) (considere que o ponto \( A \) é o de menor abcissa).
Determine analiticamente a equação reduzida da reta \( r \) e, utilizando a calculadora gráfica, obtenha as abcissas dos pontos \( A \) e \( B \)
Apresente essas abcissas arredondadas às centésimas.
Na sua resposta, reproduza, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema.

M12-EX-2016-F2-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados \( 600 \) euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro.
Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato.
Nesse contrato, a prestação mensal \( p \), em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por
\( p = \dfrac{600x}{1-e^(-nx)} (x>0) \)
em que \( n \) é o número de meses em que o empréstimo será pago e \( x \) é a taxa de juro mensal.
Resolva os itens 5.1. e 5.2. recorrendo a métodos analíticos.
Na resolução do item 5.1., pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos.
\( \mathrm{5.1.} \) O José e o António acordaram que a taxa de juro mensal seria \( 0,3% (x = 0,003) \)
Em quantos meses será pago o empréstimo, sabendo-se que o José irá pagar uma prestação mensal de \( 24 \) euros?
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais.
\( \mathrm{5.2.} \) Determine ————-limite———- em função de \( n \), e interprete o resultado no contexto da situação descrita.

M12-EX-2016-F2-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( g \) uma função contínua, de domínio \( \mathbb{R} \), tal que:
\( \bullet \) para todo o número real \( x \), \( \mathrm{g} \circ \mathrm{g} (x) = x \)
\( \bullet \) para um certo número real \( a \), tem-se \( g(a)>a + 1 \)
Mostre que a equação \( g(x) = x + 1 \) é possível no intervalo \( ] a, g(a)[ \)