M-A-12-EX-2017-F1

M-A-12-EX-2017-F1-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Considere todos os números naturais de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de
\( 1 \; \) a \( \; 9 \; \)
Destes números, quantos são múltiplos de \( \; 5 \; \)?
(A)   \( 729 \) (B)   \( 1458 \) (C)   \( 3645 \) (D)   \( 6561 \)

M-A-12-EX-2017-F1-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Uma turma é constituída por rapazes e por raparigas, num total de \( \; 20 \; \) alunos.
Sabe-se que:
\( \bullet \) \( \dfrac{1}{4} \; \) dos rapazes tem olhos verdes;
\( \bullet \) escolhido, ao acaso, um aluno da turma, a probabilidade de ele ser rapaz e de ter olhos verdes é \( \dfrac{1}{10}\)
Quantos rapazes tem a turma?
(A)   \( 4 \) (B)   \( 8 \) (C)   \( 12 \) (D)   \( 16 \)

M12-EX-2017-F1-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \; \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função polinomial \( \; f \; \)
Sabe-se que o único ponto de inflexão do gráfico de \( \; f \; \) tem abcissa \( \; 0 \; \)
Seja \( \; f^{\prime \prime} \; \) a segunda derivada da função \( \; f \; \)
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)   \( f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)<0 \)
(B)   \( f^{\prime \prime}(−2)+f^{\prime \prime}(-1)>0 \)
(C)   \( f^{\prime \prime}(−1) \times f^{\prime \prime}(-2)<0 \)
(D)   \( f^{\prime \prime}(1) \times f^{\prime \prime}(2)>0 \)

M12-EX-2017-F1-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Sejam \( f \) e \( g \) duas funções de domínio \( \mathbb{R} \)
Sabe-se que a reta de equação \( y= −x \) é assíntota oblíqua do gráfico de \( f \) e do gráfico de \( g \)
Qual é o valor de ———————-limite——————–
(A)   \( +\infty \) (B)   \( 1 \) (C)   \( -1 \) (D)   \( -\infty \)

M12-EX-2017-F1-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( A \) e contradomínio \( \; ]−1,+\infty[ \), definida por \( f(x)= tgx \)
Qual dos conjuntos seguintes pode ser o conjunto \( A \)?
(A)   \( \bigg]\dfrac{-\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\bigg[ \) (B)   \( \bigg]\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\bigg[ \) (C)   \( \bigg]\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{4}\bigg[ \) (D)   \( \bigg]\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\bigg[ \)

M12-EX-2017-F1-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), uma reta \( r \) de inclinação \( a \)
Sabe-se que \( \cos{\alpha} = -\dfrac{1}{\sqrt5} \)
Qual pode ser a equação reduzida da reta \( r \)?
(A)   \( y=−5x \) (B)   \( y=4x \) (C)   \( y=−2x \) (D)   \( y=3x \)

M12-EX-2017-F1-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, a condição
\( \dfrac{5\pi}{4} \leq \arg(z) \leq \dfrac{7\pi}{4} \wedge Im(z) \geq −1 \)
No plano complexo, esta condição define uma região.
Qual é a área dessa região?
(A)   \( \dfrac{\sqrt2}{2} \) (B)   \( \dfrac{1}{2} \) (C)   \( \sqrt2 \) (D)   \( 1  \)

M12-EX-2017-F1-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Seja \( (u_n) \) a sucessão definida por——————–sucessão com chaveta—————-
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)   A sucessão \( (u_n) \) é monótona crescente.
(B)   A sucessão \( (u_n) \) é monótona decrescente.
(C)   A sucessão \( (u_n) \) é limitada.
(D)   A sucessão \( (u_n) \) é um infinitamente grande.

M12-EX-2017-F1-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, sejam
\( z_1 = \dfrac{1 − 3i^19}{1+i} \) e \( z_2 = −3kcis(\dfrac{3\pi}{2}) \), com \( k \in \mathbb{R}^+ \)
Sabe-se que, no plano complexo, a distância entre a imagem geométrica de \( z_1 \) e a imagem geométrica de \( z_2 \) é igual a \( \sqrt5 \)
Qual é o valor de \( k \)?
Resolva este item sem recorrer à calculadora.

M12-EX-2017-F1-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o prisma quadrangular regular \( [OPQRSTUV] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) a face \( [OPQR] \) está contida no plano \( \mathrm{xOy} \)
\( \bullet \) o vértice \( Q \) pertence ao eixo \( Oy \) e o vértice \( T \) pertence ao eixo \( Oz \)
\( \bullet \) o plano \( STU \) tem equação \( z = 3 \)
\( \mathrm{2.1.} \) Seja \( T’ \) o simétrico do ponto \( T \), relativamente à origem do referencial.
Escreva uma equação da superfície esférica de diâmetro \( [TT’] \)
\( \mathrm{2.2.} \) Determine o valor do produto escalar \( \vec{UP}. \vec{RS} \)
\( \mathrm{2.3.} \) Uma equação do plano \( PQV \) é \( x + y = 2 \)
Determine uma condição cartesiana que defina a reta \( TQ \)
\( \mathrm{2.4} \) Escolhem-se, ao acaso, três vértices do prisma.
Determine a probabilidade de o plano definido por esses três vértices ser perpendicular ao plano \( \mathrm{xOy} \)
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

M12-EX-2017-F1-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Um saco contém \( n \) bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de \( 1 \) a \( n \) (com \( n \) par e superior a \( 6 \)).
Retira-se, ao acaso, uma bola do saco.
Sejam \( A \) e \( B \) os acontecimentos:
\( A \): «o número da bola retirada é menor ou igual a \( 6 \)»
\( B \): «o número da bola retirada é par»
Escreva o significado de \( P(\overline{A} \cup B) \) no contexto da situação descrita e determine uma expressão, em
função de \( n \), que dê esta probabilidade.
Apresente a expressão na forma de uma fração.

M12-EX-2017-F1-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Na Figura 3, está representada uma secção de uma ponte pedonal que liga as duas margens de um rio.
A ponte, representada pelo arco \( PQ \), está suportada por duas paredes, representadas pelos segmentos de reta \( [OP] \) e \( [RQ] \). A distância entre as duas paredes é \( 7 \) metros.
O segmento de reta \( [OR] \) representa a superfície da água do rio.
Figura3
Considere a reta \( OR \) como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto \( O \) e em que uma unidade corresponde a \( 1 \) metro.
Para cada ponto situado entre \( O \) e \( R \), de abcissa \( x \), a distância na vertical, medida em metros, desse ponto ao arco \( PQ \) é dada por
\( f(x)=9-2,5(e^{(1-0,2x)}+e^{(0,2x-1)}) \), com \( x \in [0,7] \)
Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a métodos analíticos; utilize a calculadora apenas para efetuar
eventuais cálculos numéricos.
\( \mathrm{4.1.} \) Seja \( S \) o ponto pertencente ao segmento de reta \( [OR] \) cuja abcissa \( x \) verifica a equação
\( \sqrt{(f(0))^2+x^2} = 2 \)
Resolva esta equação, apresentando a solução arredondada às décimas, e interprete essa solução
no contexto da situação descrita.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
\( \mathrm{4.2} \) O clube náutico de uma povoação situada numa das margens do rio possui um barco à vela. Admita que, sempre que esse barco navega no rio, a distância do ponto mais alto do mastro à superfície da água é \( 6 \) metros.
Será que esse barco, navegando no rio, pode passar por baixo da ponte?
Justifique a sua resposta.

M12-EX-2017-F1-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( g \) a função, de domínio \( \mathbb{R} \), definida por
———————-função—————–
Resolva os itens 5.1. e 5.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{5.1.} \) Estude a função \( g \) quanto à continuidade no ponto \( 1 \)
\( \mathrm{5.2.} \) Resolva, no intervalo \( ]4,5[ \), a equação \( g(x)=3 \)
\( \mathrm{5.3.} \) Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função \( g \) e um triângulo \( [OAP] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) o ponto \( A \) é o ponto de abcissa negativa que é a intersecção do gráfico da função \( g \) com o eixo das abcissas;
\( \bullet \) o ponto \( P \) é um ponto do gráfico da função \( g \), de abcissa e ordenada negativas;
\( \bullet \) a área do triângulo \( [OAP] \) é igual a \( 5 \)
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto \( P \)
Apresente o valor obtido arredondado às décimas.
Na sua resposta:
– determine analiticamente a abcissa do ponto \( A \)
– equacione o problema;
– reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação.

M12-EX-2017-F1-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ \) uma função tal que \( f^\prime(x)<0 \), para qualquer número real positivo \( x \)
Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \),
\( \bullet \)um ponto \( P \), de abcissa a, pertencente ao gráfico de \( f \)
\( \bullet \)a reta \( r \), tangente ao gráfico de \( f \) no ponto \( P \)
\( \bullet \)o ponto \( Q \), ponto de intersecção da reta \( r \) com o eixo \( \mathrm{Ox} \)
Sabe-se que \( OP = PQ \)
Determine o valor de \( f^\prime(a)+\dfrac{f(a)}{a} \)