M-A-12-EX-2016-EE

M12-EX-2016-EE-V1-GI-1

\( \mathrm{1.} \) Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), os pontos \( A (-1,3) \) e \( B (2,4) \)
Qual das seguintes equações define uma reta paralela à reta \( AB \)?
(A)   \( y=-\dfrac{1}{3}x \) (B)   \( y=\dfrac{1}{3}x \) (C)   \( y=3x \) (D)   \( y=-3x \)

M12-EX-2016-EE-V1-GI-2

\( \mathrm{2.} \) Uma pessoa lança um dado cúbico, com as faces numeradas de \( 1 \) a \( 6 \), e regista o número da face que ficou voltada para cima.
Uma outra pessoa lança um dado com a forma de um tetraedro regular, com as faces numeradas de \( 1 \) a \( 4 \), e regista o número da face que ficou voltada para baixo.
Admita que ambos os dados são equilibrados.
Qual é a probabilidade de, pelo menos, uma dessas pessoas registar o número \( 4 \)?
(A)   \( \dfrac{3}{8} \) (B)   \( \dfrac{5}{8} \) (C)   \( \dfrac{5}{12} \) (D)   \( \dfrac{7}{12} \)

M12-EX-2016-EE-V1-GI-3

\( \mathrm{3.} \) Seja \( X \) uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio \( 2 \) e desvio padrão \( 0,5 \)
Qual é o valor, arredondado às centésimas, de \( P(X) > 2,5) \)?
(A)   \( 0,68 \) (B)   \( 0,34 \) (C)   \( 0,32 \) (D)   \( 0,16 \)

M12-EX-2016-EE-V1-GI-4

\( \mathrm{4.} \) Sejam \( a \) e \( b \) dois números reais superiores a \( 1 \), tais que \( a = b^3 \)
Qual dos valores seguintes é igual a \( log_ab + log_ba \)?
(A)   \( \dfrac{4}{3} \) (B)   \( 1 \) (C)   \( \dfrac{10}{3} \) (D)   \( 3 \)

M12-EX-2016-EE-V1-GI-5

\( \mathrm{5.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( [-3,3] \), cujo gráfico está representado na Figura 1.
Tal como a figura sugere, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras.
Seja \( g \) a função, de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( g(x)=lnx \)
Quais são as soluções da equação \( \mathrm{f} \circ \mathrm{g} =0 \)?
(o símbolo \( \circ \) designa a composição de funções)
(A)   \( \dfrac{1}{e};e^2 \) (B)   \( e;e^2 \)
(C)   \( 1;e \) (D)   \( \dfrac{1}{e};e \)
Figura 1

M12-EX-2016-EE-V1-GI-6

\( \mathrm{6.} \) Para um certo número real \( k \), é contínua em \( \mathbb{R} \) a função \( f \) definida por
——————–função———————
Qual é o valor de \( k \)?
(A)   \( -\dfrac{5}{3} \) (B)   \( -\dfrac{5}{4} \) (C)   \( \dfrac{5}{4} \) (D)   \( \dfrac{5}{3} \)

M12-EX-2016-EE-V1-GI-7

\( \mathrm{7.} \) Considere em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, a condição
\( 0 \leq argz \leq \dfrac{\pi}{4} \wedge 1 \leq Rez \leq 5 \)
Esta condição define uma região no plano complexo.
Qual dos seguintes números complexos tem a sua imagem geométrica nesta região?
(A)   \( 3+4i \) (B)   \( 6+2i \) (C)   \( 2 cis\dfrac{13\pi}{6} \) (D)   \( cis\dfrac{13\pi}{6} \)

M12-EX-2016-EE-V1-GI-8

\( \mathrm{8.} \) Considere as sucessões convergentes \(a_n \) e \( b_n \), de termos gerais
\( a_n = \bigg( 1+\dfrac{1}{n} \bigg)^{3n} \) e \( b_n = ln(1-2e^{-n} \)
Sejam \(a \) e \(b \) os números reais tais que \( a=lim(a_n) \) e \( b=lim(b_n) \)
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)   \( a=3e \) e \( b=0 \) (B)   \( a=e^3 \) e \( b=0 \)
(C)   \( a=3e \) e \( b=1 \) (D)   \( a=e^3 \) e \( b=1 \)

M12-EX-2016-EE-V1-GII-1

\( \mathrm{1.} \) Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, seja \( z = \dfrac{2i}{1-i} + 2i^{23} \)
Determine, sem recorrer à calculadora, os números complexos \( \omega \) tais que \( \omega^3 = \overline z \)
Apresente os valores pedidos na forma trigonométrica.

M12-EX-2016-EE-V1-GII-2

\( \mathrm{2.} \) Um saco contém \( n \) bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de \( 1 \) a \( n \), sendo \( n \) um número par maior do que \( 3 \)
\( \mathrm{2.1.} \) Retiram-se, em simultâneo e ao acaso, três bolas do saco.
Escreva uma expressão, em função de \( n \), que dê a probabilidade de, dessas três bolas, duas terem número par e uma ter número ímpar.
Não simplifique a expressão que escrever.
\( \mathrm{2.2.} \) Admita agora que \( n = 8 \)
Ao acaso, extraem-se sucessivamente duas bolas do saco (primeiro uma e depois outra) e observa‑se o número de cada uma delas.
Sejam \( A \) e \( B \) os acontecimentos:
\( A \): «A primeira bola extraída tem número par.»
\( B \): «A segunda bola extraída tem número par.»
Determine o valor de \( P(A \cap B) \) no caso em que a extração é feita com reposição e no caso em que a extração é feita sem reposição.
Justifique a sua resposta, tendo em conta que \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \)
Na sua resposta:
– interprete o significado de \( P(A \cap B) \), no contexto da situação descrita;
– indique o valor de \( P(B|A) \), no caso de a extração ser feita com reposição;
– indique o valor de \( P(B|A) \), no caso de a extração ser feita sem reposição;
– apresente o valor de \( P(A \cap B)) \), em cada uma das situações (designe esse valor por \( a \) no caso de a extração ser feita com reposição e por \( b \) no caso de a extração ser feita sem reposição).

M12-EX-2016-EE-V1-GII-3

\( \mathrm{3.} \) Na Figura 2, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), o prisma quadrangular regular \( [OABCDEFG] \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) os pontos \( C \), \( A \) e \( E \) pertencem aos eixos coordenados \( \mathrm{Ox} \), \( \mathrm{Oy} \) e \( \mathrm{Oz} \), respetivamente;
\( \bullet \) o ponto \( A \) tem coordenadas \( (0,2,0) \)
\( \bullet \) o plano \( OFB \) é definido pela equação \( 3x + 3y − z = 0 \)
\( \mathrm{3.1.} \) Determine uma equação do plano paralelo ao plano \( OFB \) que passa no ponto \( D \)
\( \mathrm{3.2.} \) Defina a reta \( OB \) por uma condição cartesiana.
\( \mathrm{3.3.} \) Seja \( P \) o ponto de cota igual a \( 1 \) que pertence à aresta \( [BG] \)
Seja \( R \) o simétrico do ponto \( P \) relativamente à origem.
Determine a amplitude do ângulo \( RAP \)
Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.
Figura 2

M12-EX-2016-EE-V1-GII-4

\( \mathrm{4.} \) Seja \( f \) a função, de domínio \( \bigg]-\dfrac{3 \pi}{2},+\infty \bigg[ \), definida por
——————–função—————–
Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
\( \mathrm{4.1.} \) Determine ——- limite ——————————
Interprete o valor obtido em termos de assíntotas do gráfico de \( f \)
\( \mathrm{4.2.} \) Estude a função \( f \) quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de inflexão do seu gráfico, no intervalo \( \bigg]-\dfrac{3 \pi}{2},0 \bigg[ \)
Na sua resposta, indique:
– o(s) intervalo(s) em que o gráfico de \( f \) tem concavidade voltada para baixo;
– o(s) intervalo(s) em que o gráfico de \( f \) tem concavidade voltada para cima;
– a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de \( f \)
\( \mathrm{4.3.} \) Na Figura 3, estão representados:
\( \bullet \) parte do gráfico da função \( f \)
\( \bullet \) um ponto \( A \), pertencente ao gráfico de \( f \), de abcissa \( a \)
\( \bullet \) a reta \( t \), tangente ao gráfico da função \( f \) no ponto \( A \)
Sabe-se que:
\( \bullet \) \( a \in ]0,1[ \)
\( \bullet \) a reta \( t \) tem declive igual a \( 1,1 \)
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto \( A \)
Na sua resposta:
– equacione o problema;
– reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, que lhe permite(m) resolver a equação;
– apresente a abcissa do ponto \( A \) arredondada às centésimas.
Figura 3

M12-EX-2016-EE-V1-GII-5

\( \mathrm{5.} \) O movimento de uma nave espacial é um movimento de propulsão provocado pela libertação de gases resultantes da queima e explosão de combustível.
Um certo tipo de nave tem por função o transporte de carga destinada ao abastecimento de uma estação espacial.
Designemos por \( x \) a massa, em milhares de toneladas, da carga transportada por uma nave desse tipo e por \( V \) a velocidade, em quilómetro por segundo, que essa mesma nave atinge no instante em que termina a queima do combustível.
Considere que \( V \) é dada, em função de \( x \), por \( V(x)= 3ln \bigg( \dfrac{x+300}{x+60} \bigg) \) \( (x \geq 0) \)
Nos itens 5.1. e 5.2., a calculadora só pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.
\( \mathrm{5.1.} \) Admita que uma nave do tipo referido transporta uma carga de \( 25 \) mil toneladas.
Determine quanto tempo demora essa nave a percorrer \( 200 \) quilómetros a partir do instante em que termina a queima do combustível, sabendo que a velocidade da nave se mantém constante a partir desse instante.
Apresente o resultado em segundos, arredondado às unidades.
\( \mathrm{5.2.} \) Determine qual deve ser a massa da carga transportada por uma dessas naves, de modo que atinja, após a queima da totalidade do combustível, uma velocidade de \( 3 \) quilómetros por segundo.
Apresente o resultado em milhares de toneladas, arredondado às unidades.

M12-EX-2016-EE-V1-GII-6

\( \mathrm{6.} \) Seja \( k \) um número real positivo.
Considere a função \( g \), de domínio \( ]−k,+\infty[ \), definida por \( g(x)= ln(x+k) \)
Mostre que: se \( g(0) \times g(k) <0 \), então \( k \in \bigg]\dfrac{1}{2},1 \bigg[ \)
Na resolução deste item, não utilize a calculadora.