\( \mathrm{4.} \) |
Na Figura 1, está representado o gráfico de uma função \(f \), de domínio \( ]-1, 6[ \), e, na Figura 2, está representada parte do gráfico de uma função \(g \), de domínio \( \mathbb{R} \) |
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Tal como as figuras sugerem, em ambas as funções, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras.\( Figura 1 e Figura 2 \) \[ \lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^2-2x}{f(x)-f(2)}=4 \](isto é só por memória) |
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Quais são os zeros da função \( g \circ f \) ? |
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(o símbolo \( \circ \) designa a composição de funções) |
\( \mathrm{2.} \) |
Na Figura 3, está representado, num referencial o.n. \( 0xyz \), o cubo \( [ABCDEFGH] \) |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \) a face \( [ABCD] \) está contida no plano \( xOy \) |
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\( \bullet \) a aresta \( [CD] \) está contida no eixo \( Oy \) |
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\( \bullet \) o ponto \( D \) tem coordenadas \( (0, 4, 0) \) |
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\( \bullet \) o plano \( ACG \) é definido pela equação \( x+y-z-6=0 \) |
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\( \mathrm{2.1} \) |
Verifique que o vértice \( A \) tem abcissa igual a 2 |
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\( \mathrm{2.2} \) |
Seja r a reta definida pela condição \( x – 1 = 1 – y = z \) |
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Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta \( r \) com o plano \( ACG \) |
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\( \mathrm{2.3} \) |
Seja \( P \) o vértice de uma pirâmide regular de base \( [EFGH] \) |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \) a cota do ponto P é superior a 2 |
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\( \bullet \) o volume da pirâmide é 4 |
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Determine a amplitude do ângulo \( O\hat{G}P \) |
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Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. |
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Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. |
\( \mathrm{3.} \) |
Uma escola secundária tem alunos de ambos os sexos. |
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\( \mathrm{3.1.} \) |
Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola. |
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Seja \( A \) o acontecimento «o aluno escolhido é rapariga», e seja \( B \) o acontecimento «o aluno escolhido frequenta o 10.º ano». |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz ou não frequentar o 10.º ano é \( 0,82 \) |
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\( \bullet \)a probabilidade de o aluno escolhido frequentar o 10.º ano, sabendo que é rapariga, é \( \dfrac{1}{3} \) |
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Determine \( P(A) \) |
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\( \mathrm{3.2.} \) |
Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de 1 a 30 |
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Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comissão, introduzem-se, num saco, trinta cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de 1 a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso. |
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Qual é a probabilidade de os dois menores números saídos serem o 7 e o 22? |
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Apresente o resultado arredondado às milésimas. |
\( \mathrm{4.} \) |
Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), definida por \( f(x) = \dfrac {ln x}{x} \) |
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Resolva os itens 4.1., 4.2. e 4.3. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. |
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\( \mathrm{4.1.} \) |
Estude a função \( f \)quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados. |
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\( \mathrm{4.2.} \) |
Resolva a inequação \( f(x) > 2 ln x \) |
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Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais. |
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\( \mathrm{4.3.} \) |
Para um certo número real \( k \), a função \( g \), de domínio \( \mathbb{R+} \) , definida por \( g (x) = \dfrac{k}{x} + f(x) \), tem um extremo relativo para \( x = 1 \) |
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Determine esse número \( k \) |
\( \mathrm{6.} \) |
Num jardim, uma criança está a andar num baloiço cuja cadeira está suspensa por duas hastes rígidas. Atrás do baloiço, há um muro que limita esse jardim. |
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A Figura 4 esquematiza a situação. O ponto \( P \)representa a posição da cadeira. \( figura 4 \) |
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Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Doze segundos após esse instante, a criança deixa de dar balanço e procura parar o baloiço arrastando os pés no chão. |
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Admita que a distância, em decímetros, do ponto P ao muro, t segundos após o instante inicial, é dada por |
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\(
\begin{equation}
d(t) =
\begin{cases}
30 + t sen(\pi t) & \ \text{se } \, 0 \leq t < 12
\\
\\[1pt]
30 + 12 e^(12 - t) sen(\pi t) & \ \text{se } \; t \geq 12
\end{cases}
\end{equation}
\)
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(o argumento da função seno está expresso em radianos) |
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\( \mathrm{6.1.} \) |
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o número de soluções da equação \( d ^ t h = 27 \) no intervalo \( [0,6] \), e interprete o resultado no contexto da situação descrita. |
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Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema. |
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\( \mathrm{6.2.} \) |
Admita que, no instante em que é iniciada a contagem do tempo, as hastes do baloiço estão na vertical e que a distância do ponto P ao chão, nesse instante, é 4 dm |
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Treze segundos e meio após o instante inicial, a distância do ponto P ao chão é 4,2 dm |
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Qual é o comprimento da haste? |
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Apresente o resultado em decímetros, arredondado às unidades. |
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Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. |