| \( \mathrm{4.} \) |
Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função \( f \), polinomial do terceiro grau. |
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Tal como a figura sugere, a função \( f \) tem um máximo relativo para \( x = −2 \) e tem um mínimo relativo para \( x = 2 \) |
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A origem do referencial é ponto de inflexão do gráfico de \( f \) |
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Sejam \( f^\prime \) e \( f^{\prime \prime} \) a primeira e a segunda derivadas da função \( f \), respetivamente. |
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Qual é o conjunto solução da condição \( f^\prime(x) \times f^{\prime\prime}(x)>0 \)? |
| \( \mathrm{2.} \) |
Considere duas caixas, \( C_1 \) e \( C_2 \). A caixa \( C_1 \) tem \( 12 \) bolas, das quais cinco são brancas e as restantes são pretas. A caixa \( C_2 \) tem sete bolas, umas brancas e outras pretas. |
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\( \mathrm{2.1} \) |
Considere a experiência que consiste em retirar, simultaneamente e ao acaso, duas bolas da caixa \( C_1 \), colocá-las na caixa \( C_2 \) e, em seguida, retirar, também ao acaso, uma bola da caixa \( C_2 \) |
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Sejam \( A \) e \( B \) os acontecimentos: |
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\( A \): «As bolas retiradas da caixa \( C_1 \) têm a mesma cor.» |
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\( B \): «A bola retirada da caixa \( C_2 \) é branca.» |
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Sabe-se que \( P(B|\overline{A}) = \dfrac{2}{3} \) |
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Interprete o significado de \( P(B|A) \) e indique, justificando, quantas bolas brancas e quantas bolas pretas existiam inicialmente na caixa \( C_2 \) |
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\( \mathrm{2.2} \) |
Considere agora a caixa \( C_1 \) com a sua constituição inicial ( \( 12 \) bolas, das quais cinco são brancas e sete são pretas). |
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Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa, regista-se a sua cor e coloca-se novamente a bola na caixa. Repete-se esta experiência seis vezes. |
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Determine a probabilidade de, nessas seis vezes, sair bola branca, pelo menos, duas vezes. |
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Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. |
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|
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. |
| \( \mathrm{3.} \) |
Pretende-se eliminar um poluente diluído na água de um tanque de um viveiro. Para tal, é escoada água por um orifício na base do tanque e, em simultâneo, é vertida no tanque água não poluída, de tal modo que a quantidade total de água no tanque se mantém. |
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Admita que a massa, \( p \), de poluente, medida em gramas, \( t \) horas após o início do processo, é, para um certo número real positivo \( k \), dada por |
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\( p(t) = 120 e^{−kt} (t \geq 0) \) |
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Resolva os itens 3.1. e 3.2. recorrendo exclusivamente a métodos analíticos. |
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Na resolução do item 3.2., pode utilizar a calculadora para efetuar eventuais cálculos numéricos. |
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\( \mathrm{3.1} \) |
Determine o valor de \( k \), sabendo que, duas horas após o início do processo, a massa de poluente é metade da existente ao fim de uma hora. |
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Apresente o resultado na forma ln\( a \), com \( a>1 \) |
|
\( \mathrm{3.2} \) |
Admita agora que \( k = 0,7 \) |
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|
Determine a taxa média de variação da função \( p \) no intervalo \( [0,3] \) e interprete o resultado obtido no contexto da situação descrita. |
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|
Apresente o valor da taxa média de variação arredondado às unidades. |
|
|
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. |
| \( \mathrm{4.} \) |
Seja \( f \) a função, de domínio \( ]1, -\pi, +\infty[ \), definida por |
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—————-função————– |
|
Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. |
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\( \mathrm{4.1} \) |
Indique, justificando, se a seguinte afirmação é verdadeira ou é falsa. |
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«A função \( f \) é contínua à esquerda no ponto \( 1 \), mas não é contínua à direita nesse ponto.» |
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\( \mathrm{4.2} \) |
Escreva a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função \( f \) no ponto de abcissa \( 1- \dfrac{\pi}{2} \) |
|
\( \mathrm{4.3} \) |
O gráfico da função \( f \) tem um único ponto de inflexão, cuja abcissa pertence ao intervalo \( ]1,2[ \) |
|
|
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa desse ponto. |
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|
Na sua resposta: |
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\( \bullet \) reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema; |
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\( \bullet \) apresente a abcissa do ponto de inflexão arredondada às centésimas. |
| \( \mathrm{5.} \) |
Na Figura 3, está representado, num referencial o.n. \( \mathrm{Oxyz} \), um cilindro de revolução de altura \( 3 \) |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \) o ponto \( A \) tem coordenadas \( (1,2,0) \) e é o centro da base inferior do cilindro, a qual está contida no plano \( \mathrm{xOy} \) |
|
\( \bullet \) o ponto \( B \) tem coordenadas \( (1,3,0) \) e pertence à circunferência que delimita a base inferior do cilindro; |
|
\( \bullet \) o ponto \( C \) é o centro da base superior do cilindro. |
|
\( \mathrm{5.1} \) |
Determine a área da secção produzida no cilindro pelo plano de equação \( x = 1 \) |
|
\( \mathrm{5.2} \) |
Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta \( BC \) com o plano \( \mathrm{xOz} \) |
|
\( \mathrm{5.3} \) |
Seja \( \alpha \) o plano que passa no ponto \( A \) e que é perpendicular à reta \( r \) definida pela condição \( x=y=1-z \). Seja \( P \) o ponto desse plano de abcissa e ordenada iguais a \( 2 \) |
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|
Determine a amplitude do ângulo \( POC \) |
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Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. |
|
|
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. |
|
Figura 3 |
| \( \mathrm{6.} \) |
Na Figura 4, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), a circunferência de centro na origem e raio \( 1 \) |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \) o ponto \( A \) está no segundo quadrante e pertence à circunferência; |
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\( \bullet \) o ponto \( D \) tem coordenadas \( (1,0) \) |
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\( \bullet \) o ponto \( C \) pertence ao primeiro quadrante e tem abcissa igual à do ponto \( D \) |
|
\( \bullet \) o ponto \( B \) pertence ao eixo \( \mathrm{Oy} \) e é tal que o segmento de reta \( [AB] \) é paralelo ao eixo \( \mathrm{Ox} \) |
|
\( \bullet \) os ângulos \( AOC \) e \( COD \) são geometricamente iguais e cada um deles tem amplitude \( \bigg( \alpha \in \bigg]\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \bigg) \) |
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Mostre que a área do triângulo \( [ABC] \), representado a sombreado, é dada por \( \dfrac{tg{\alpha} cos^2(2\alpha)}{2} \) |
