| \( \mathrm{8.} \) |
Na Figura 4, está representado, no plano complexo, a sombreado, um sector circular. |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)o ponto \( A \) está situado no 1.º quadrante; |
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\( \bullet \)o ponto \( B \) está situado no 4.º quadrante; |
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\( \bullet \)\( [AB] \) é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice \( 5 \) do complexo \( 32 cis \bigg( \dfrac{\pi}{2} \bigg) \) |
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\( \bullet \)o arco \( AB \) está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a \( \overline{OA} \) |
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Figura 4 |
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Qual dos números seguintes é o valor da área do sector circular \( AOB \)? |
| \( \mathrm{1.} \) |
Em \( \mathbb{C} \), conjunto dos números complexos, considere |
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\( z_1 = 1 \), \( z_2=5i \) e \( z_3 = cis \bigg( \dfrac{n\pi}{40} \bigg) \), \( n \in \mathbb{N} \) |
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Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora. |
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\( \mathrm{1.1.} \) |
O complexo \( z_1 \) é raiz do polinómio \( z^3 − z^2 + 16z − 16 \) |
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Determine, em \( \mathbb{C} \), as restantes raízes do polinómio. |
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Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica. |
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\( \mathrm{1.2.} \) |
Determine o menor valor de \( n \) natural para o qual a imagem geométrica de \( z_2 \times z_3 \), no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares. |
| \( \mathrm{2.} \) |
Uma companhia aérea vende bilhetes a baixo custo exclusivamente para viagens cujos destinos sejam Berlim ou Paris. |
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\( \mathrm{2.1.} \) |
Nove jovens decidem ir a Berlim e escolhem essa companhia aérea. Cada jovem paga o bilhete com cartão multibanco, ou não, independentemente da forma de pagamento utilizada pelos outros jovens. Considere que a probabilidade de um jovem utilizar cartão multibanco, para pagar o seu bilhete, é igual a \( 0,6 \). |
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Determine a probabilidade de exactamente \( 6 \) desses jovens utilizarem cartão multibanco para pagarem o seu bilhete. |
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Apresente o resultado com arredondamento às centésimas. |
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\( \mathrm{2.2.} \) |
A companhia aérea constatou que, quando o destino é Berlim, \( 5% \) dos seus passageiros perdem o voo e que, quando o destino é Paris, \( 92% \) dos passageiros seguem viagem. Sabe-se que \( 30% \) dos bilhetes a baixo custo que a companhia aérea vende têm por destino Berlim. |
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Determine a probabilidade de um passageiro, que comprou um bilhete a baixo custo nessa companhia aérea, perder o voo. |
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Apresente o resultado na forma de dízima. |
| \( \mathrm{4.} \) |
Num museu, a temperatura ambiente em graus centígrados, \( t \) horas após as zero horas do dia 1 de Abril de 2010, é dada, aproximadamente, por |
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\( T(t) = 15 +0,1t^2 e^{-0,15t} \), com \( t \in [0,20] \) |
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Determine o instante em que a temperatura atingiu o valor máximo recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. |
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Apresente o resultado em horas e minutos, apresentando os minutos arredondados às unidades. |
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Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. |
| \( \mathrm{5.} \) |
Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por \( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \dfrac{3}{x – 1} & \ \text{se } \, x < 1 \\ \\ \dfrac{2 + lnx}{x} & \ \text{se } \; x \geq 1 \end{cases} \end{equation} \) |
|
\( \mathrm{5.1.} \) |
O gráfico de \( f \) admite uma assimptota horizontal. |
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Seja \( P \) o ponto de intersecção dessa assimptota com a recta tangente ao gráfico de \( f \) no ponto de abcissa \( e \). |
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Determine as coordenadas do ponto P recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. |
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\( \mathrm{5.2.} \) |
Existem dois pontos no gráfico de \( f \) cujas ordenadas são o cubo das abcissas. |
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Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica. |
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Na sua resposta, deve: |
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\( \bullet \)equacionar o problema; |
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\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; |
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\( \bullet \)assinalar esses pontos; |
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\( \bullet \)indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas. |
| \( \mathrm{6.} \) |
Na Figura 5, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por \( f(x)= 4\cos(2x) \) |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)os vértices \( A \) e \( D \) do trapézio \( [ABCD] \) pertencem ao eixo \( \mathrm{Ox} \) |
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\( \bullet \)o vértice \( B \) do trapézio \( [ABCD] \) pertence ao eixo \( \mathrm{Oy} \) |
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\( \bullet \)o vértice \( D \) do trapézio \( [ABCD] \) tem abcissa \( -\dfrac{\pi}{6} \) |
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\( \bullet \)os pontos \( A \) e \( C \) pertencem ao gráfico de \( f \) |
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\( \bullet \)a recta \( CD \) é paralela ao eixo \( \mathrm{Oy} \) |
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Figura 5 |
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Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. |
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\( \mathrm{6.1.} \) |
Determine o valor exacto da área do trapézio \( [ABCD] \) |
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\( \mathrm{6.2.} \) |
Seja \( f^\prime \) a primeira derivada da função \( f \), e seja \( f^{\prime \prime} \) a segunda derivada da função \( f \) |
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Mostre que \( f(x) + f^\prime (x) + f^{\prime \prime} (x) = −4 \bigg( 3\cos(2x) + 2sen(2x) \bigg) \), para qualquer número real \( x \) |
| \( \mathrm{7.} \) |
Na Figura 6, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico da função \( g \) |
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Figura 6 |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)\( g \) é uma função contínua em \( \mathbb{R} \) |
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\( \bullet \)\( g \) não tem zeros |
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\( \bullet \)a segunda derivada, \( f^{\prime \prime} \), de uma certa função \( f \) tem domínio \( \mathbb{R} \) e é definida por \( f^{\prime \prime} (x) = g(x) \times (x^2 − 5x + 4) \) |
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\( \bullet \)\( f(1) \times f(4) > 0 \) |
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Apenas uma das opções seguintes pode representar a função \( f \) |
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Gráficos |
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Elabore uma composição na qual: |
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\( \bullet \)indique a opção que pode representar \( f \) |
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\( \bullet \)apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções |
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Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado. |
