| \( \mathrm{2.} \) |
Seja \Omega, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. |
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Sejam \( A \) e \( B \) dois acontecimentos (\( A \subset \Omega \) e \( B \subset \Omega \)). |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)\( P(A)=0,4 \) |
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\( \bullet \)\( P( \overline B)=0,7 \) |
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\( \bullet \)\( P(A \cup B)=0,5 \) |
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Qual é o valor de \( P( \overline A \cup \overline B ) \)? |
| \( \mathrm{5.} \) |
Na Figura 1, está representado o círculo trigonométrico. |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)o ponto \( A \) pertence ao primeiro quadrante e à circunferência; |
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\( \bullet \)o ponto \( B \) pertence ao eixo \( \mathrm{Ox} \) |
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\( \bullet \)o ponto \( C \) tem coordenadas \( (1, 0) \) |
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\( \bullet \)o ponto \( D \) pertence à semirreta \( \dot{O} A \) |
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\( \bullet \)os segmentos de reta \( [AB] \) e \( [DC] \) são paralelos ao eixo \( \mathrm{Oy} \) |
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Seja \alpha a amplitude do ângulo \( COD \bigg( \alpha \in \bigg] 0, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \bigg) \) |
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Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero \( [ABCD] \), representado a sombreado, em função de \( \alpha \)? |
| \( \mathrm{2.} \) |
De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que: |
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\( \bullet \) \( 60% \) dos funcionários residem fora de Coimbra; |
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\( \bullet \) os restantes funcionários residem em Coimbra. |
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\( \mathrm{2.1.} \) |
Relativamente aos funcionários dessa empresa, sabe-se ainda que: |
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\( \bullet \) o número de homens é igual ao número de mulheres; |
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\( \bullet \) \( 30% \) dos homens residem fora de Coimbra. |
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Escolhe-se, ao acaso, um funcionário dessa empresa. |
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Qual é a probabilidade de o funcionário escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra? |
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Apresente o resultado na forma de fração irredutível. |
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\( \mathrm{2.2.} \) |
Considere agora que a empresa tem oitenta funcionários. |
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Escolhem-se, ao acaso, três funcionários dessa empresa. |
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A probabilidade de, entre esses funcionários, haver no máximo dois a residir em Coimbra é igual a |
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\( \dfrac{80^C_3 – 32^C_3}{80^C_3} \) |
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Elabore uma composição na qual explique a expressão apresentada. |
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Na sua resposta: |
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\( \bullet \)enuncie a regra de Laplace; |
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\( \bullet \)explique o número de casos possíveis; |
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\( \bullet \)explique o número de casos favoráveis. |
| \( \mathrm{3.} \) |
Na Figura 3, está representado um recipiente cheio de um líquido viscoso. |
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Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base, encontra-se uma esfera. Essa esfera está ligada a um ponto \( P \) por uma mola esticada. |
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Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical. Admita que, \( t \) segundos após esse instante, a distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto \( P \) é dada por |
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\( d(t)=10+(5-t)e^{-0,05t} (t \geq 0) \) |
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\( \mathrm{3.1.} \) |
Sabe-se que a distância do ponto \( P \) à base do recipiente é \( 16 \) cm |
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Determine o volume da esfera. |
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Apresente o resultado em \( cm^3 \), arredondado às centésimas. |
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\( \mathrm{3.2.} \) |
Determine o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto \( P \) é mínima, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. |
| \( \mathrm{4.} \) |
Seja \( f \) a função, de domínio \( \mathbb{R} \), definida por |
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——————-função—————– |
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Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. |
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\( \mathrm{4.1.} \) |
Averigue da existência de assíntotas verticais do gráfico da função \( f \) |
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\( \mathrm{4.2.} \) |
Estude a função \( f \) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo \( \bigg] \dfrac{1}{2}, +\infty \bigg[ \) |
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Na sua resposta, apresente: |
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\( \bullet \)o(s) intervalo(s) em que o gráfico de \( f \) tem concavidade voltada para baixo; |
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\( \bullet \)o(s) intervalo(s) em que o gráfico de \( f \) tem concavidade voltada para cima; |
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\( \bullet \)as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de \( f \) |
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\( \mathrm{4.3.} \) |
Mostre que a equação \( f(x)=3 \) é possível em \( ]1,e[ \) e, utilizando a calculadora gráfica, determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas. |
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Na sua resposta: |
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\( \bullet \)recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equação \( f(x)=3 \) tem, pelo menos, uma solução no intervalo ]1,\(e\)[ |
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\( \bullet \)reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); |
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\( \bullet \)apresente a solução pedida. |
| \( \mathrm{5.} \) |
Considere, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), os pontos \( A(0,0,2) \) e \( B(4,0,0) \) |
|
\( \mathrm{5.1.} \) |
Considere o plano \( \alpha \) de equação \( x−2y+z+3=0 \) |
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Escreva uma equação do plano que passa no ponto \( A \) e é paralelo ao plano \( \alpha \) |
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\( \mathrm{5.2.} \) |
Determine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta \( [AB] \) é um diâmetro. |
|
\( \mathrm{5.3.} \) |
Seja \( P \) o ponto pertencente ao plano \( \mathrm{xOy} \) tal que: |
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\( \bullet \) a sua abcissa é igual à abcissa do ponto \( B \) |
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|
\( \bullet \) a sua ordenada é positiva; |
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\( \bullet \) \( B\hat{A}P= \dfrac{\pi}{3} \) |
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Determine a ordenada do ponto \( P \) |
| \( \mathrm{6.} \) |
Sejam \( f \) e \( g \) as funções, de domínio \( \mathbb{R} \), definidas, respetivamente, por |
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\( f(x)= 1 – \cos(3x) \) e \( g(x)= \sin(3x) \) |
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Seja \( a \) um número real pertencente ao intervalo \( \bigg] \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \) |
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Considere as retas \( r \) e \( s \) tais que: |
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\( \bullet \)a reta \( r \) é tangente ao gráfico da função \( f \) no ponto de abcissa \( a \) |
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\( \bullet \)a reta \( s \) é tangente ao gráfico da função \( g \) no ponto de abcissa \( a+ \dfrac{\pi}{6} \) |
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Sabe-se que as retas \( r \) e \( s \) são perpendiculares. |
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Mostre que \( \sin(3a)= -\dfrac{1}{3} \) |
