| \( \mathrm{4.} \) |
Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. \( \mathrm{xOy} \), parte do gráfico de uma função \( f \), de domínio \( ]-1,3[ \) |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)\( f(1)=−4 \) |
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\( \bullet \)a reta de equação \( x = 1 \) é assíntota do gráfico de \( f \) |
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\( \bullet \)\( (x_n) \) é uma sucessão com termos em \( ]-1,1[ \) |
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\( \bullet \)\( lim(x_n) = 1 \) |
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Qual é o valor de \( lim \bigg(f(x_n) \bigg) \)? |
| \( \mathrm{1.} \) |
Seja \( \mathbb{C} \) o conjunto dos números complexos. |
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\( \mathrm{1.1.} \) |
Seja \( n \) um número natural. |
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Apresente o resultado na forma trigonométrica. |
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\( \mathrm{1.2.} \) |
Seja \( \alpha \in \bigg] \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \bigg[ \) |
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Sejam \( z_1 \) e \( z_2 \) dois números complexos tais que \( z_1 = cis{\alpha} \) e \( z_2 = cis \bigg( \alpha + \dfrac{\pi}{2} \bigg) \) |
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Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de \( z_1 + z_2 \), no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante. |
| \( \mathrm{2.} \) |
A empresa AP comercializa pacotes de açúcar. |
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\( \mathrm{2.1.} \) |
Seja \( Y \) a variável aleatória «massa, em gramas, de um pacote de açúcar comercializado pela empresa AP». |
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A variável aleatória \( Y \) segue uma distribuição normal de valor médio \( 6,5 \) gramas e desvio padrão \( 0,4 \) gramas. |
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Um pacote de açúcar encontra-se em condições de ser comercializado se a sua massa estiver compreendida entre \( 5,7 \) gramas e \( 7,3 \) gramas. |
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Determine o valor aproximado da probabilidade de, em \( 10 \) desses pacotes de açúcar, exatamente oito estarem em condições de serem comercializados. |
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Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas. |
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\( \mathrm{2.2.} \) |
Considere o problema seguinte. |
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«A empresa AP pretende aplicar, junto dos seus funcionários, um programa de reeducação alimentar. De entre os \( 500 \) funcionários da empresa AP vão ser selecionados \( 30 \) para formarem um grupo para frequentar esse programa. A Joana e a Margarida são irmãs e são funcionárias da empresa AP. Quantos grupos diferentes podem ser formados de modo que, pelo menos, uma das duas irmãs, a Joana ou a Margarida, não seja escolhida para esse grupo?» |
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Apresentam-se, em seguida, duas respostas corretas. |
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I)\( ^{500}C_30 – ^{498}C_28 \) II)\( 2 × ^{498}C_29 + ^{498}C_30 \) |
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Numa composição, apresente o raciocínio que conduz a cada uma dessas respostas. |
| \( \mathrm{4.} \) |
Considere a função \( f \), de domínio \( \mathbb{R} \), definida por |
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\( \begin{equation} f(x) = \begin{cases} \dfrac{senx}{1-\sqrt1-x^3} & \ \text{se } \, x < 0 \\ \\ 1-e^{k+1} & \ \text{se } \, x = 0 & & ( \textsf{com} \;\ k \in \mathbb{R} ) \\ \\ \dfrac{1-e^{4x} }{x} & \ \text{se } \; x > 0 \end{cases} \end{equation} \) |
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Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. |
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\( \mathrm{4.1.} \) |
Determine \( k \), de modo que —————limite————– |
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\( \mathrm{4.2.} \) |
Estude a função \( f \) quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico. |
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\( \mathrm{4.3.} \) |
Seja \( g \) uma função, de domínio \( \mathbb{R}^+ \), cuja derivada, \( g^\prime \), de domínio \( \mathbb{R}^+ \), é dada por \( g^\prime (x) = f(x)-\dfrac{1}{x} \) |
|
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Estude a função \( g \) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. |
| \( \mathrm{5.} \) |
Considere a função \( f \), de domínio \( [-7, 0[ \), definida por |
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\( f(x)= e^x + ln(x^2) + 3 \) |
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Sejam \( A \) e \( B \) os pontos de intersecção do gráfico de \( f \) com a bissetriz dos quadrantes pares, e seja \( d \) a distância entre os pontos \( A \) e \( B \) |
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Determine \( d \), recorrendo à calculadora gráfica. |
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Na sua resposta, deve: |
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\( \bullet \)reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; |
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\( \bullet \)assinalar os pontos \( A \) e \( B \) |
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\( \bullet \)indicar as coordenadas dos pontos \( A \) e \( B \) com arredondamento às centésimas; |
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\( \bullet \)apresentar o valor de \( d \) com arredondamento às centésimas. |
| \( \mathrm{6.} \) |
Na Figura 4, está representado o quadrado \( [ABCD] \) |
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Sabe-se que: |
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\( \bullet \)\( \overline{AB} = 4 \) |
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\( \bullet \)\( \overline{AE} = \overline{AH} = \overline{BE} = \overline{BF} = \overline{CF} = \overline{CG} = \overline{DG} = \overline{DH} \) |
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\( \bullet \)\( x \) é a amplitude, em radianos, do ângulo \( EAB \) |
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\( \bullet \)\( x \in \bigg] 0, \dfrac{\pi}{4} \bigg[ \) |
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Figura 4 |
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\( \mathrm{6.1.} \) |
Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de \( x \), por \( a(x) = 16(1 − tgx) \) |
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\( \mathrm{6.2.} \) |
Mostre que existe um valor de x compreendido entre \( \dfrac{\pi}{12} \) e \( \dfrac{\pi}{5} \) para o qual a área da região sombreada é \( 5 \). |
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Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. |
